(本小題滿分13分)

如圖,已知四棱錐PABCD的底面是菱形,∠BCD=60°,點EBC邊的中點,ACDE交于點O,PO⊥平面ABCD.

(Ⅰ)求證:PDBC;

(Ⅱ)若AB=6,PC=6,求二面角PADC的大。

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求異面直線PBDE所成角的余弦值.

 

【答案】

解:解法一:(Ⅰ)在菱形ABCD中,連接DB,則△BCD是等邊三角形.

∵點EBC邊的中點

DEBC.

PO⊥平面ABCD,

OD是斜線PD在底面ABCD內(nèi)的射影.

PDBC.                                         (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知DEBC

菱形ABCD中,ADBC,

DEAD.

又∵PO⊥平面ABCD,DEPD在平面ABCD的射影,

PDAD.

∴∠PDO為二面角PADC的平面角.

在菱形ABCD中,ADDE,由(1)知,△BCD為等邊三角形,

∵點EBC邊的中點,ACBD互相平分,

∴點O是△BCD重心.

AB=6,

又∵在等邊△BDC中,

DODE=·BC=×6=6.

OCOD=6.

PC=6,∴PO=6.

∴在Rt△POD中,tan∠PDO===1.

∴∠PDO=.

∴二面角PADC的大小為.                              (9分)

(Ⅲ)取AD中點H,連接HB,HP.

HBDE.

HBPB所成角即是DEPB所成角.

連接OH,OB.

PO⊥平面ABCD,OHOB⊂平面ABCD,

POOH,POOB.

在Rt△DOH中,HD=3,OD=6,

OH=3.

在Rt△PHO中,PH==.

在Rt△POB中,OBOC=6,PB==6.

由(Ⅱ)可知DEHB=9.

設(shè)HBPB所成角為α,

則cosα==.

∴異面直線PB、DE所成角的余弦值為.                                    (13分)

解法二:(Ⅰ)同解法一;                                    (4分)

(Ⅱ)過點OAD平行線交ABF,以點O為坐標(biāo)原點,建立如圖的坐標(biāo)系.

A(6,-6,0),B(3,3,0),C(-3,3,0),

D(0,-6,0),P(0,0,6).

=(-6,0,0),=(0,-6,-6).

設(shè)平面PAD的一個法向量為s=(am,n).

不妨取s=(0,-1,1).

=(0,0,6)是平面ADC的一個法向量,

∴cos〈s,〉==.

∴二面角PADC的大小為.                                 (9分)

(Ⅲ)由已知,可得點E(0,3,0).

=(3,3,-6),=(0,9,0).

∴cos〈,〉==.

即異面直線PB、DE所成角的余弦值為.  

【解析】略

 

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(Ⅰ)求證:∥平面;

(Ⅱ)求異面直線所成的角。www.7caiedu.cn           

 

 

 

 

 

 


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