【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性 ;

(2)若對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)當(dāng)時,若函數(shù)有兩個極值點(diǎn),求

的最大值.

【答案】(1)當(dāng)時,上遞減;當(dāng) 時, 上內(nèi)單調(diào)遞增,在 內(nèi)單調(diào)遞減;(2);(3).

【解析】試題分析:(1)求出,分兩種情況討論的范圍,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2),由,當(dāng)時,,所以內(nèi)單調(diào)遞減,則有 ,從而 ,再證明當(dāng)時,不符合題意,從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍為;(3)求的最大值可轉(zhuǎn)化為,的最大值,利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增, 當(dāng)時,取得最大值,最大值為.

試題解析:(1)由已知得,

當(dāng)時,內(nèi)單調(diào)遞減.

當(dāng)時,若,有,若,有,則上內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.

(2)令,由

解法一:

當(dāng)時,,所以內(nèi)單調(diào)遞減,

則有 ,從而 ,

當(dāng)時,,得,當(dāng),有,則上內(nèi)單調(diào)遞增,此時 ,與恒成立矛盾,因此不符合題意,

綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.

解法二:

當(dāng)時,,所以內(nèi)單調(diào)遞減,

則有 ,符合題意.

當(dāng)時,,得,當(dāng),有,若,有,則上內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減.又,

因此,即 ,

綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.

(3),則

由已知,可得,即方程有2個不相等的實(shí)數(shù)根

, 解得 ,其中,

可得,又,所以,

設(shè)

,由,則,故

所以單調(diào)遞增,

當(dāng)時,取得最大值,最大值為.

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①若對于任意x∈[1,3],恒有fx)≤2x2,求a的取值范圍;

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