Question

【題目】如圖，橢圓C： =1（0＜b＜3）的右焦點為F，P為橢圓上一動點，連接PF交橢圓于Q點，且|PQ|的最小值為 ．

（1）求橢圓方程；
（2）若 ，求直線PQ的方程；
（3）M，N為橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線PM，PN分別與x軸交于R，S，求證：|OR||OS|為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得 ，且a=3，∴b2=4，故橢圓方程為
（2）解：設(shè) 與4x2+9y2=36聯(lián)立，

得：

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則

由 得y1=﹣2y2，

即 ，

∴

（3）證明：設(shè)M（x0，y0），N（x0，﹣y0），則 ，

令y=0得 ，同理 ，

得 ，

∴|OR||OS|= （#）

又 ， ∴ ，∴ 代入（#）

得：∴|OR||OS|=9

【解析】（1）利用橢圓的簡單性質(zhì)，結(jié)合已知條件求出a，b，得到橢圓方程．（2）設(shè) 與4x2+9y2=36聯(lián)立，設(shè)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），利用韋達(dá)定理以及判別式，通過 求出m，然后求解直線方程．（3）設(shè)M（x0 ， y0），N（x0 ， ﹣y0），則 ，令y=0得 同理 ，通過化簡|OR||OS|，結(jié)合點的坐標(biāo)滿足橢圓方程，化簡求解|OR||OS|=9．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．