Question

設(shè)橢圓過點(diǎn)，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過點(diǎn)P（4，1）的動(dòng)直線l與橢圓C相交與兩不同點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足=λ，證明：點(diǎn)Q的軌跡與λ無關(guān)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)離心率求得c，a的關(guān)系，則根據(jù)a，b和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得；
（Ⅱ）先設(shè)點(diǎn)Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設(shè)=λ．又P，A，Q，B四點(diǎn)共線，可得結(jié)合A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓C上，得到2x+y-2=0最后根據(jù)點(diǎn)Q（x，y）總在定直線2x+y-2=0上．即點(diǎn)Q的軌跡與λ無關(guān)．
解答：解（Ⅰ）由題意解得a²=4，b²=2，所求橢圓方程為．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題設(shè)=λ．
又P，A，Q，B四點(diǎn)共線，可得，
于是（1）（2）
由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程x²+2y²=4，
整理得（x²+2y²-4）λ²-4（2x+y-2）λ+14=0（3）（x²+2y²-4）λ²+4（2x+y-2）λ+14=0（4）
（4）-（3）得8（2x+y-2）λ=0，∵λ≠0，∴2x+y-2=0，（
點(diǎn)Q（x，y）總在定直線2x+y-2=0上．即點(diǎn)Q的軌跡與λ無關(guān)．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．