如圖，已知橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為、．點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、，為坐標(biāo)原點．設(shè)直線、的斜率分別為、．

（i）證明：；

（ii）問直線上是否存在點，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

【答案】

（1）根據(jù)橢圓的方程以及斜率公式來得到求解。

（2）點的坐標(biāo)為或  

【解析】

試題分析：（i）.橢圓方程為，、 設(shè)

則，，      2分

（ii）記A、B、C、D坐標(biāo)分別為、、、

設(shè)直線：    ：

聯(lián)立可得              4分

，代入，可得

                            6分

同理，聯(lián)立和橢圓方程，可得             7分

由及（由（i）得）可解得，或，所以直線方程為或，

所以點的坐標(biāo)為或                      10分

考點：橢圓方程

點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，以及運用韋達定理求解斜率和，進而得到直線的方程，得到點P的坐標(biāo)，屬于中檔題。

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

如圖，已知橢圓過點，兩個焦點分別為，為坐標(biāo)原點，平行于的直線交橢圓于不同的兩點，

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）試問直線的斜率之和是否為定值，若為定值，求出以線段為直徑且過點的圓的方程；若不存在，說明理由.

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如圖，已知橢圓過點.，離心率為，左、右焦點分別為、.點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、，為坐標(biāo)原點.

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)直線、的斜線分別為、.      證明：

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）文科數(shù)學(xué)全解全析 題型：解答題

（本小題滿分14分）

如圖，已知橢圓過點（1，），離心率為 ，左右焦點分別為.點為直線：上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為和為坐標(biāo)原點.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線、斜率分別為.

（ⅰ）證明：

（ⅱ )問直線上是否存在一點，使直線的斜率滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年高考試題（山東卷）解析版（文） 題型：解答題

 如圖，已知橢圓過點（1，），離心率為 ，左右焦點分別為．點為直線：上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為和為坐標(biāo)原點．

    （Ⅰ） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

   （Ⅱ）設(shè)直線、斜率分別為．

證明：

（ⅱ）問直線上是否存在一點，

使直線的斜率

滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

 

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