Question

（2013•海淀區(qū)一模）在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào)II類(lèi)志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績(jī)分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)．某考場(chǎng)考生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)锽的考生有10人．
（I）求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)；
（II）若等級(jí)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分．
（i）求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；
（ii）若該考場(chǎng)共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．從這10人中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績(jī)之和的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由數(shù)學(xué)與邏輯中成績(jī)等級(jí)為B的考生有10人，頻率為

1

4

，可求考場(chǎng)中的人數(shù)，然后結(jié)合其頻率可求
（II） 結(jié)合頻率分布直方圖可求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為
（Ⅲ）設(shè)兩人成績(jī)之和為ξ，則ξ的值可以為16，17，18，19，20，然后求出ξ去每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可求解出ξ的分布列及ξ的數(shù)學(xué)期望

解答：解：（I）因?yàn)椤皵?shù)學(xué)與邏輯”科目中成績(jī)等級(jí)為B的考生有10人，
所以該考場(chǎng)有10÷

1

4

=40人…（1分）
所以該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=3…（3分）
（II） 求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為

40(1×0.2+2×0.1+3×0.375+4××0.25+5×0.075)

40

=2.9（7分）
（Ⅲ）設(shè)兩人成績(jī)之和為ξ，則ξ的值可以為16，17，18，19，20…（8分）
P（ξ=16）=

C 2 6

C 2 10

=

1

3

，
P（ξ=17）=

C 1 2 C 1 6

C 2 10

=

4

15

P（ξ=18）=

C 1 6 C 1 2 + C 2 2

C 2 10

=

13

45

P（ξ=19）=

C 1 2 C 1 2

C 2 10

=

4

45

P（ξ=20）=

C 2 2

C 2 10

=

1

45

所以ξ的分布列為

X	16	17	18	19	20
P	1 3	4 15	13 45	4 45	1 45

…（11分）
所以Eξ=16×

1

3

+17×

4

15

+18×

13

45

+19×

4

45

+20×

1

45

=

86

5

所以ξ的數(shù)學(xué)期望為

86

5

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及期望值的求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本公式的應(yīng)用．