Question

（2013•海淀區(qū)一模）已知圓M：（x-

2

）²+y²=

7

3

，若橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點為圓M的圓心，離心率為

2

2

．
（I）求橢圓C的方程；
（II）已知直線l：y=kx，若直線l與橢圓C分別交于A，B兩點，與圓M分別交于G，H兩點（其中點G在線段AB上），且|AG|=|BH|，求k的值．

Answer 1

分析：（I）由圓心M(

2

，0)得到a=

2

．利用橢圓的離心率e=

c

a

及b²=a²-c²即可得出橢圓的標準方程；
（II）把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系及弦長公式即可得到|AB|，利用垂徑定理及半徑、弦長的一半、弦心距三者之間的關系(

|GH|

2

)2=R2-d2即可得到|GH|，進而得出k．

解答：解：（I）設橢圓的焦距為2c，由圓心M(

2

，0)得到a=

2

．
∵e=

c

a

=

2

2

，∴c=1．
∴b²=a²-c²=1．
所以橢圓C：

x2

2

+y2=1．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由直線l與橢圓C交于兩點A，B，則

y=kx x2+2y2=2

消去y得到（1+2k²）x²-2=0，則x₁+x₂=0，x1x2=-

2

1+2k2

．
∴|AB|=

(1+k2)(0+ 8 1+2k2 )

=

8(1+k2) 1+2k2

．
點M(

2

，0)到直線l的距離d=

| 2 k|

1+k2

．
則|GH|=2

7 3 - 2k2 1+k2

．
顯然，若點H也在線段AB上，則由對稱性可知，直線y=kx就是y軸，矛盾．
∵|AG|=|BH|，∴|AB|=|GH|．
∴

8(1+k2)

1+2k2

=4(

7

3

-

2k2

1+k2

)，
解得k²=1，即k=±1．

點評：熟練掌握橢圓與圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與曲線相交問題轉(zhuǎn)化為把直線l的方程與曲線的方程聯(lián)立得到一元二次方程、利用根與系數(shù)的關系及弦長公式、垂徑定理及半徑、弦長的一半、弦心距三者之間的關系(

|GH|

2

)2=R2-d2是解題的關鍵．