【題目】拋物線C:y2=2px(p>0)的準線為l,焦點為F.⊙M的圓心在x軸的正半軸上,且與y軸相切.過原點O作傾斜角為的直線n交l于點A, 交⊙M于另一點B,且AO=OB=2.
(1)求⊙M和拋物線C的方程;
(2)若P為拋物線C上的動點,求的最小值;
(3)過l上的動點Q向⊙M作切線,切點為S,T,求證:直線ST恒過一個定點,并求該定點的坐標.
【答案】(1)(x-2)2+y2=4。 (2)2.(3).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)可求出的值,從而求出拋物線方程,求出圓心和半徑可求出的方程;(2)先表示出然后根據(jù)點在拋物線上將消去,求關于的二次函數(shù)的最小值即可;(3)以點這圓心,為半徑作,則線段即為與的公共弦,設點,根據(jù),求出直線的方程,使直線與無關,可求出定點坐標.
試題解析:(1)因為=OA·cos60°=2×=1,即p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x
設⊙M的半徑為r,則r=·=2,所以⊙M的方程為(x-2)2+y2=4。
(2)設P(x,y)(x≥0),則·=(2-x,-y)(1-x,-y)=x2-3x+2+y2=x2+x+2,
所以當x=0時,·有最小值為2.
(3)以點Q這圓心,QS為半徑作⊙Q,則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦.
設點Q(-1,t),則QS2=QM2-4=t2+5,所以⊙Q的方程為(x+1)2+(y-t)2=t2+5,
從而直線QS的方程為3x-ty-2=0(*),
因為一定是方程(*)的解,所以直線QS恒過一個定點,且該定點坐標為(,0).
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【題目】函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,曲線BCD為拋物線的一部分.
(Ⅰ)求f(x)解析式;
(Ⅱ)若f(x)=1,求x的值;
(Ⅲ)若f(x)>f(2-x),求x的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),求的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上無零點,求的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3-x2+1(xR),其中a>0.
(1)若a=1,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程;
(2)若在區(qū)間上,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知極點與直角坐標系的原點重合,極軸與軸的正半軸重合,圓的極坐標方程是,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).
(1)若,為直線與軸的交點,是圓上一動點,求的最大值;
(2)若直線被圓截得的弦長為,求的值.
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【題目】已知 .
(1)若函數(shù)的值域為,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖所示,某班一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損,其中,頻率分布直方圖的分組區(qū)間分別為,據(jù)此解答如下問題.
(Ⅰ)求全班人數(shù)及分數(shù)在之間的頻率;
(Ⅱ)現(xiàn)從分數(shù)在之間的試卷中任取 3 份分析學生情況,設抽取的試卷分數(shù)在的份數(shù)為 ,求的分布列和數(shù)學望期.
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【題目】如圖甲,直角梯形中, , ,點分別在上,且, , ,現(xiàn)將梯形沿折起,使平面與平面垂直(如圖乙).
(Ⅰ)求證: 平面;
(II)當的長為何值時,二面角的大小為?
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