Question

如圖，在各棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面AACC⊥底面ABC，

∠AAC=60°.(Ⅰ)求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大��；

(Ⅱ)已知點(diǎn)D滿足，在直線AA上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面ABC？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) 略

解析:

：(Ⅰ)∵側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O⊥AC于點(diǎn)O，

∴A₁O⊥平面ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱長(zhǎng)都相等，

∴AO=1，OA₁=OB=，BO⊥AC.………………2分

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則

A(0，-1，0)，B(，0，0)，A₁(0，0，)，C(0，1，0)，；

∴.…………………4分

設(shè)平面AB₁C的法向量為n=(x,y,1)

則解得n=(-1,0,1).………6分

由cos<>=

而側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角，即是向量與平面AB₁C的法向量所成銳角的余角，

∴側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值的大小為………6分

(Ⅱ)∵而∴。…8分

又∵B(，0，0)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(-，0，0).

假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P(0，y，z).

∴∵DP∥平面AB₁C，n=(-1，0，1)為平面AB₁C的法向量，

∴由，得……11分

又DP平面AB₁C，

故存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB₁C，其從標(biāo)為(0，0，)，即恰好為A₁點(diǎn).………12分