Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，極大值為，極小值為.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，的值，求出切線方程即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，從而求出函數(shù)的極值即可．

（1）由題意，所以當(dāng)時(shí)，，，

因此曲線在點(diǎn)處的切線方程是，

即.

（2）因?yàn)?/span>，

所以

，

令，則，令得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，

也就說，對于恒有.

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，無極值；

當(dāng)時(shí)，令，可得．當(dāng)或，

，單調(diào)遞增，

當(dāng)，，單調(diào)遞減；

因此，當(dāng)時(shí)，取極大值；

當(dāng)時(shí)，取極小值.

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無極值；

當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

函數(shù)既有極大值，又有極小值，

極大值為，

極小值為.