【題目】已知直線L:kx-y+1+2k=0.
(1)求證:直線L過定點;
(2)若直線L交x軸負半軸于點A,交y正半軸于點B,△AOB的面積為S,試求S的最小值并求出此時直線L的方程.
【答案】(1)定點(-2,1); (2) x-2y+4=0.
【解析】
試題分析:(1)由直線系方程: 恒過兩直線:
與
的交點可知:只需將直線L的方程改寫成:
知直線L恒過直線
與
的交點(-2,1),從而問題得證;(2)先用k將點A和點B的坐標表示出來,由直線L交x軸負半軸于點A,交y正半軸于點B知:k>0;然后再用含k的代數(shù)式將△AOB的面積為S表達出來,得到S是k的函數(shù),再利用基本不等式就可求得使S取得最小值對應的k的值,從而就可寫出直線L的方程.
試題解析:(1)證明:由已知得: k(x+2)+(1-y)=0, 3分
令 x+2=0 , 1-y=0
得: x=-2 , y=1
∴無論k取何值,直線過定點(-2,1) 5分
(2)解:令y=0得:A點坐標為
令x=0得:B點坐標為(0,2k+1)(k>0), 7分
∴S△AOB=
|2k+1|=
(2k+1)
=≥
(4+4)=4 .10分
當且僅當4k=,即k=
時取等號.
即△AOB的面積的最小值為4,此時直線l的方程為x-y+1+1=0,
即 x-2y+4=0. 12分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= sin(2x+
),其中x∈R,下列結(jié)論中正確的是( )
A.f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù)
B.f(x)的一條對稱軸是
C.f(x)的最大值為2
D.將函數(shù) 的圖象向左平移
個單位得到函數(shù)f(x)的圖象
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) (
是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,當
對任意
恒成立時,
的最大值為
,求實數(shù)
的取值范圍.
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【題目】在一次公里的自行車個人賽中,25名參賽選手的成績(單位:分鐘)的莖葉圖如圖所示:
(1)現(xiàn)將參賽選手按成績由好到差編為1~25號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中選取5人,已知選手甲的成績?yōu)?5分鐘,若甲被選取,求被選取的其余4名選手的成績的平均數(shù);
(2)若從總體中選取一個樣本,使得該樣本的平均水平與總體相同,且樣本的方差不大于7,則稱選取的樣本具有集中代表性,試從總體(25名參賽選手的成績)選取一個具有集中代表性且樣本容量為5的樣本,并求該樣本的方差.
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【題目】如圖,四邊形中,
,
,
,
,
,
分別在
上,
,現(xiàn)將四邊形
沿
折起,使得平面
平面
.
(1)當,是否在折疊后的
上存在一點
,使得
平面
?若存在,求出
點位置,若不存在,說明理由;
(2)設,問當
為何值時,三棱錐
的體積有最大值?并求出這個最大值.
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【題目】已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且b2+c2=a2+bc,求:
(1)2sinBcosC﹣sin(B﹣C)的值;
(2)若a=2,求△ABC周長的最大值.
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【題目】(12分)在數(shù)列中,對于任意
,等式
成立,其中常數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(Ⅲ)如果關于n的不等式的解集為
,求b和c的取值范圍.
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【題目】設直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(Ⅰ)若直線l不經(jīng)過第二象限,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積等于2,求實數(shù)a的值.
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【題目】已知函數(shù)(
).
(Ⅰ)若,當
時,求
的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)有唯一的零點,求實數(shù)
的取值范圍.
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