Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 的定義域為（﹣1，1），滿足f（﹣x）=﹣f（x），且f（ ）= ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（x2﹣1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，f（x）為奇函數(shù)；

∴f（0）=b=0，則 ；

又 ；

∴a=1；

∴ ；

（2）解：設﹣1＜x1＜x2＜1，則：

= ；

又﹣1＜x1＜x2＜1；

∴ ；

∴f（x1）﹣f（x2）＜0；

即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)

（3）解：由f（x2﹣1）+f（x）＜0得f（x2﹣1）＜﹣f（x）；

即f（x2﹣1）＜f（﹣x）；

由（2）知f（x）在（﹣1，1）上是增函數(shù)，則 ；

∴原不等式的解集為 ．

【解析】1、利用函數(shù)為奇函數(shù)，則有f（0）=b=0成立，即得b=0。再根據(jù)f（ ）= 得a=1即得函數(shù)的解析式。
2、利用定義證明函數(shù)的增減性。
3、由題意可得f（x2﹣1）＜f（﹣x），再根據(jù)函數(shù)的增減性可得, 不等式求交集即可得到結果。

【考點精析】通過靈活運用函數(shù)單調性的判斷方法和函數(shù)單調性的性質，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集即可以解答此題．