【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)軸上,離心率為.過的直線兩點(diǎn),且的周長為.

(1)求橢圓的方程;

(2)圓軸正半軸相交于兩點(diǎn),(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn),連接,,求證.

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】

1)設(shè)橢圓C的方程為(a>b>0),由離心率為,得,又△PQF2的周長為4a=,得a=2,進(jìn)而求出橢圓方程;

(2)y0代入圓的方程求出x的值,確定MN的坐標(biāo),當(dāng)ABx軸時(shí),由橢圓的對(duì)稱性得證;當(dāng)ABx軸不垂直時(shí),設(shè)直線ABy=kx1),與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程,設(shè)Ax1,y1),Bx2,y2),利用韋達(dá)定理表示出x1+x2,x1x2,進(jìn)而表示出直線AN與直線BN斜率之和為0,即可得證.

(1)設(shè)橢圓C的方程為(a>b>0).因?yàn)殡x心率為,所以,解得,即.又△PQF2的周長為|PQ|+|PF2|+|QF2|=(|PF1|+|PF2|)+(|QF1|+|QF2|)=2a+2a=4a,所以又△PQF2的周長為,即a=2,b=2,

所以橢圓C的方程為.

(2)把y=0代入+(y-2)2,解得x=1或x=4,因?yàn)辄c(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè),即點(diǎn)M(1,0),N(4,0).

①當(dāng)AB⊥x軸時(shí),由橢圓的對(duì)稱性可知∠ANM=∠BNM.

②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),可設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1).

聯(lián)立 (k2+2)x2-2k2x+k2-8=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

則x1+x2,x1x2.

因?yàn)閥1=k(x1-1),y2=k(x2-1),

所以kAN+kBN.

因?yàn)?x1-1)(x2-4)+(x2-1)(x1-4)=2x1x2-5(x1+x2)+8=+8=

所以kAN+kBN=0,所以∠ANM=∠BNM,綜上所述,∠ANM=∠BNM.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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其中正確的有____________(把所有正確的序號(hào)都填上).

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1)求的值;

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1)求橢圓的方程;

2)求點(diǎn)Q的軌跡方程.

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