Question

【題目】如圖，在平面直角系中，點(diǎn)A為曲線C：在第一象限的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E，G在曲線C的準(zhǔn)線上，且點(diǎn)G在x軸的下方，圓O與準(zhǔn)線相切，直線交曲線C于點(diǎn)B，交圓O于點(diǎn)D，H.

（1）當(dāng)點(diǎn)H為曲線C的焦點(diǎn)，時(shí)，求；

（2）當(dāng)點(diǎn)O為的內(nèi)心時(shí)，若，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）8；（2）.

【解析】

(1)首先由準(zhǔn)線方程可得拋物線方程，根據(jù)圓的弦長可得直線AG的方程，聯(lián)立直線AG與拋物線，結(jié)合焦半徑公式即可求解；(2)根據(jù)直線AE,AG與圓相切，結(jié)合圓心到直線的距離等于半徑，構(gòu)造二次方程的兩根為，結(jié)合韋達(dá)定理即可建立等量關(guān)系，可求出點(diǎn)A的坐標(biāo).

（1）∵曲線C的準(zhǔn)線為，∴，即，

∴曲線C的方程為.

∴此時(shí)，即.

過點(diǎn)O作于點(diǎn)K，則點(diǎn)K為弦的中點(diǎn).

∵，∴.

在中，，

∴，即直線的斜率為1，

∴直線的方程為.

設(shè)點(diǎn)，.

聯(lián)立消去y，

得，

由韋達(dá)定理得，

∴.

（2）當(dāng)點(diǎn)O為的內(nèi)心時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，即直線與圓O相切.

設(shè)，，，易知，，.

直線的方程為，

化簡得.

又圓心到的距離為1，

即，

∴，

化簡得，

同理有.

∴，，∵，

∴.

∴，解得或（舍），∴.