Question

【題目】已知點P為直線上任意一點，，M為平面內一點，且.

（Ⅰ）求點M的軌跡E的方程；

（Ⅱ）過點P作曲線E的切線，切點分別是.若，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）根據題意可知點到點的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義即可寫出點M的軌跡E的方程；

（Ⅱ）依題可設點，切線方程為，根據直線與拋物線相切，可得，求解出根與系數的關系，再設出直線的斜率為，直線的斜率為，即可用表示出切點坐標，然后根據兩點間的距離公式列出方程，結合根與系數的關系即可解出．

（Ⅰ）設點，交直線于點N，

因為，所以，

即點M的軌跡E是以F為焦點，直線為準線的拋物線．

因為，所以，所以點M的軌跡E的方程為．

（Ⅱ）設點，顯然切線的斜率存在且不為0，設斜率為，

則切線方程為，

代入得，，

，所以.

設直線的斜率為，直線的斜率為，

則.

設切點坐標為，由有兩個相等實數根，

得，所以切點坐標為，

即切點，

所以

，

其中，

所以，

所以，即，解得，即．

故點P的坐標為或．