Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）若，證明：對任意 ，總有.

Answer 1

【答案】（I）①若，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，②若時，在上單調(diào)遞增，③若時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（II）證明見解析．

【解析】試題分析：（I）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點或，根據(jù)兩個零點大小分三種情況討論：若，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.若時，則在上單調(diào)遞增.若時，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（II）同（1）可得：當時，在上單調(diào)遞增，因此將所證不等式變量分離得 ，構(gòu)造函數(shù)，只需利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)遞減

試題解析：解：（I）∵，，

令，得或

①若，則時，；

時，；

時，，

故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

②若時，則在上單調(diào)遞增

③若時，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

（II）由（I）可知，當時，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則有，，于是要證，即證，

即證，

令，

∵，

∵，，

∴在上單調(diào)遞減，即有.

故.