【題目】在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AA1=2,AB=1EAD中點(diǎn),FCC1中點(diǎn).

1)求證:ADD1F;

2)求證:CE//平面AD1F;

3)求AA1與平面AD1F成角的余弦值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3.

【解析】

長(zhǎng)方體中有垂直關(guān)系,因此以D為原點(diǎn),DAx軸,DCy軸,DD1z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo),

(1)求出兩條直線的方向向量,由向量垂直得直線垂直;

(2)求直線方向向量,平面的法向量,由方向向量與法向量垂直,證得線面平行;

(3)求直線方向向量,平面的法向量,由直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于線面角的正弦值,再計(jì)算余弦值.

(1)證明:以D為原點(diǎn),DAx軸,DCy軸,DD1z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

A1,00),D0,0,0),D10,0,2),F0,1,1),

=-1,00),=01,-1),

=0,

ADD1F.

(2)證明:E,0,0),C0,1,0),A100),

D1002),F0,1,1),

=,-1,0), =-10,2), =-1,1,1),

設(shè)平面AD1F的法向量=x,y,z),

,取z=1,得=2,1,1),

==0CE平面AD1F,

CE//平面AD1F.

(3)解:=0,02),平面AD1F的法向量=2,1,1),

設(shè)AA1與平面AD1F成角為θ,

sinθ===,

cosθ==.

AA1與平面AD1F成角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在正方體中,點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn),則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )

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B. 無(wú)論點(diǎn)上怎么移動(dòng),都有

C. 當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)至中點(diǎn)時(shí),才有相交于一點(diǎn),記為點(diǎn),且

D. 無(wú)論點(diǎn)上怎么移動(dòng),異面直線所成角都不可能是

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