【題目】已知拋物線的準線方程為，點為坐標原點，不過點的直線與拋物線交于不同的兩點．

（1）如果直線過點，求證： ；

（2）如果，證明：直線必過一定點，并求出該定點．

【答案】（1）見解析；（2）過定點

【解析】分析：第一問首先根據(jù)拋物線的準線，求得拋物線的方程，根據(jù)直線過的頂點，結合拋物線的對稱性，得到直線的斜率一定不等于零，設出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求得兩根和與兩根積，之后應用向量的數(shù)量積坐標公式求得其為零，從而斷定；第二問先設出直線的方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，利用數(shù)量積等于零，結合韋達定理得到其滿足的關系，從而證得對應的直線過定點.

詳解：（1）拋物線的準線方程為，

所以拋物線的方程為

因為直線過點，故可設直線的方程為，代入拋物線中

得，

設

則，

，

所以

所以

即

（2）設直線的方程為

代入到拋物線方程整理得

設

根據(jù)韋達定理，，

因為

即

解得， （舍去）

所以直線的方程為

所以不論為何值，直線恒過定點．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．

（1）若函數(shù)在時有極值，求表達式；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）=3x．

（1）若f（x）=8，求x的值；

（2）對于任意的x∈[0，2]，[f（x）-3]3x+13-m≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字，，，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同。隨機有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為，，.

（Ⅰ）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率；

（Ⅱ）求“抽取的卡片上的數(shù)字，，不完全相同”的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知命題p：“x∈[0，1]，a≥ex”；命題q：“x0∈R，x +4x0+a=0”．若命題“p∧q”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，4]
B.（﹣∞，1）∪（4，+∞）
C.（﹣∞，e）∪（4，+∞）
D.（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出下列四個命題： ①若a＜b，則a2＜b2；
②若a≥b＞﹣1，則 ≥ ；
③若正整數(shù)m和n滿足m＜n，則 ≤ ；
④若x＞0，且x≠1，則lnx+ ≥2．
其中所有真命題的序號是

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx

(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)若對任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，有f(x1)＋2x1＜f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[2019·濰坊期末]某鋼鐵加工廠新生產(chǎn)一批鋼管，為了了解這批產(chǎn)品的質(zhì)量狀況，檢驗員隨機抽取了100件鋼管作為樣本進行檢測，將它們的內(nèi)徑尺寸作為質(zhì)量指標值，由檢測結果得如下頻率分布表和頻率分布直方圖：

分組

頻數(shù)

頻率

25.05～25.15

2

0.02

25.15～25.25

25.25～25.35

18

25.35～25.45

25.45～25.55

25.55～25.65

10

0.1

25.65～25.75

3

0.03

合計

100

1

（1）求，；

（2）根據(jù)質(zhì)量標準規(guī)定：鋼管內(nèi)徑尺寸大于等于25.75或小于25.15為不合格，鋼管尺寸在或為合格等級，鋼管尺寸在為優(yōu)秀等級，鋼管的檢測費用為0.5元/根．

（i）若從和的5件樣品中隨機抽取2根，求至少有一根鋼管為合格的概率；

（ii）若這批鋼管共有2000根，把樣本的頻率作為這批鋼管的頻率，有兩種銷售方案：

①對該批剩余鋼管不再進行檢測，所有鋼管均以45元/根售出；

②對該批剩余鋼管一一進行檢測，不合格產(chǎn)品不銷售，合格等級的鋼管50元/根，優(yōu)等鋼管60元/根．

請你為該企業(yè)選擇最好的銷售方案，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設x，y滿足不等式組 ，若z=ax+y的最大值為2a+4，最小值為a+1，則實數(shù)a的取值范圍為 ．

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