【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的最小值；

（2）若，且，證明：.

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）當(dāng)時(shí),,先求導(dǎo)可得,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可判斷在上單調(diào)遞增,由,即可判斷的單調(diào)性,進(jìn)而求解；

（2）先求導(dǎo)可得,容易得到在上單調(diào)遞增,由,即可判斷在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,設(shè),則,,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可判斷在上單調(diào)遞增,則,即,則可得,即,進(jìn)而由的單調(diào)性求證即可.

（1）解:當(dāng)時(shí),,

所以,

設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,

即在上單調(diào)遞增,

因?yàn)?/span>,

所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,

因此在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以.

（2）證明:,則,所以在上單調(diào)遞增,因?yàn)?/span>,

所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,

因此,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

由,不妨設(shè),則,,

令

,

則

，

當(dāng)時(shí)，，

故,所以在上單調(diào)遞增；

所以當(dāng)時(shí)，即時(shí),，

因此,

又,所以,

因?yàn)?/span>,,在上單調(diào)遞增,

所以,即,故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地開發(fā)一片荒地，如圖，荒地的邊界是以C為圓心，半徑為1千米的圓周.已有兩條互相垂直的道路OE，OF，分別與荒地的邊界有且僅有一個(gè)接觸點(diǎn)A，B.現(xiàn)規(guī)劃修建一條新路（由線段MP，，線段QN三段組成），其中點(diǎn)M，N分別在OE，OF上，且使得MP，QN所在直線分別與荒地的邊界有且僅有一個(gè)接觸點(diǎn)P，Q，所對(duì)的圓心角為.記∠PCA＝（道路寬度均忽略不計(jì)）.

（1）若，求QN的長(zhǎng)度；

（2）求新路總長(zhǎng)度的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為．

（1）若點(diǎn)在直線l上，求線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知，點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)Q在曲線C上，且的最小值為，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定點(diǎn)S( -2，0) ，T(2，0)，動(dòng)點(diǎn)P為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線SP、TP的斜率之積為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)B為軌跡E與y軸正半軸的交點(diǎn)，是否存在直線l，使得l交軌跡E于M，N兩點(diǎn)，且F(1，0)恰是△BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)集，其中，且，若對(duì)，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于，則稱數(shù)集具有性質(zhì).

（1）分別判斷數(shù)集與數(shù)集是否具有性質(zhì)，說明理由；

（2）已知數(shù)集具有性質(zhì)，判斷數(shù)列，，…，是否為等差數(shù)列，若是等差數(shù)列，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，是棱的中點(diǎn)，.

（1）證明：平面；

（2）設(shè)是線段的中點(diǎn)，且平面，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】點(diǎn)F2是雙曲線的右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)A在雙曲線左支上，直線l1：tx﹣y+t﹣2＝0與直線l2：x+ty+2t﹣1＝0的交點(diǎn)為B，則|AB|+|AF2|的最小值為（ ）

A.8B.C.9D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】紅鈴蟲（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害蟲之一，其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān).現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和溫度x（℃）的8組觀測(cè)數(shù)據(jù)，制成圖1所示的散點(diǎn)圖.現(xiàn)用兩種模型①，②分別進(jìn)行擬合，由此得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，進(jìn)一步得到圖2所示的殘差圖.

根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：

25

2.89

646

168

422688

48.48

70308

表中；；；；

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求出y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并求溫度為34℃時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)y的預(yù)報(bào)值.

（參考數(shù)據(jù)：，，，）

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《中國(guó)制造2025》是經(jīng)國(guó)務(wù)院總理李克強(qiáng)簽批，由國(guó)務(wù)院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進(jìn)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)的戰(zhàn)略文件，是中國(guó)實(shí)施制造強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略第一個(gè)十年的行動(dòng)綱領(lǐng)．制造業(yè)是國(guó)民經(jīng)濟(jì)的主體，是立國(guó)之本、興國(guó)之器、強(qiáng)國(guó)之基．發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅(jiān)持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強(qiáng)國(guó)的生命線．某制造企業(yè)根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量差都服從正態(tài)分布N（μ，σ2），并把質(zhì)量差在（μ﹣σ，μ+σ）內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在（μ+σ，μ+2σ）內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理．優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品．現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)

（2）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為μ的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）

[參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．

（3）假如企業(yè)包裝時(shí)要求把3件優(yōu)等品球和5件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品球的件數(shù)為X，求X的分布列以及期望值．

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