如圖，四棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面，，為上一點(diǎn)，且.
（1）求的長(zhǎng)；
（2）求二面角的正弦值.

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）連結(jié)、,因?yàn)槭橇庑?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/78/6/ulcac3.png" style="vertical-align:middle;" />的中心，,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件寫出的坐標(biāo)，并設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理列方程解出的值得到的長(zhǎng)；.
（2）設(shè)平面的法向量為，平面PMC的法向量為，首先利用向量的數(shù)量積列方程求出向量的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式求出，進(jìn)而求出二面角的正弦值.
解：

（1）如圖，連結(jié)，因為菱形，則，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
因，故
所以
由知，
從而，即
設(shè)，則因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/17/4/9iupp.png" style="vertical-align:middle;" />，
故即，所以（舍去），即.
（2）由（1）知，,
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為
由得故可取
由得故可取
從而法向量的夾角的余弦值為
故所求二面角的正弦值為.
考點(diǎn)：1、空間直線與平面垂直的性質(zhì)；2、空間直角坐標(biāo)系；3、空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=PD=1，CD=2，E為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求二面角E-BD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，平面平面，四邊形為矩形，．為的中點(diǎn)，．

（1）求證：；
（2）若時(shí)，求二面角的余弦值．

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如圖6,四棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等,,四邊形和四邊形為矩形.
(1)證明:底面;
(2)若,求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F(xiàn)，G，H分別為BE，AE，BC的中點(diǎn)
（1）求證：DE∥平面FGH；
（2）若點(diǎn)P在直線GF上，=λ，且二面角D﹣BP﹣A的大小為，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=a，，平面平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a.
（1）求證：平面ACFE；
（2）求二面角B—EF—D的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點(diǎn)，G為PD的中點(diǎn)，△DAB ≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，連接CE并延長(zhǎng)交AD于F.

（1）求證：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：DA1⊥ED1；
（2）若直線DA1與平面CED1成角為45o，求的值；
（3）寫出點(diǎn)E到直線D1C距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的位置（結(jié)論不要求證明）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

已知a＋3b與7a－5b垂直，且a－4b與7a－2b垂直，則〈a，b〉＝_______

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同步練習(xí)冊(cè)答案