已知向量
a
=(sinx，
3
4
)，
b
=(cosx，-1)．
（1）當(dāng)
a
∥
b
時，求cos2x-sin2x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=2(
a
+
b
)•
b
，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=
3
，b=2，sinB=
6
3
，求f(x)+4cos(2A+
π
6
)(x∈[0，
π
4
])的取值范圍．
分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，以及兩向量平行列出關(guān)系式，整理求出tanx的值，所求式子變形后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，將tanx的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則確定出f（x），由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，確定出A的度數(shù)，代入所求式子，根據(jù)x的范圍求出這個角的范圍，進(jìn)而求出正弦函數(shù)的值域，即可確定出所求式子的范圍．
解答：解：（1）∵
a
=（sinx，
3
4
），
b
=（cosx，-1），
a
∥
b
，
∴-sinx=
3
4
cosx，即tanx=-
3
4
，
則cos2x-sin2x=cos2x-2sinxcosx=
cos2x-2sinxcosx
cos2x+sin2x
=
1-2tanx
1+tan2x
=
1+2×
3
4
1+
9
16
=
8
5
；
（2）f（x）=2（
a
+
b
）•
b
=2（sinxcosx+cos2x+
1
4
）=sin2x+cos2x+
3
2
=
2
sin（2x+
π
4
）+
3
2
，
∵a=
3
，b=2，sinB=
6
3
，
∴由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
得：sinA=
asinB
b
=
3
×
6
3
2
=
2
2
，
∵a＜b，∴A＜B，
∴A=
π
4
，
∴原式=
2
sin（2x+
π
4
）-
1
2
，
∵x∈[0，
π
4
]，∴2x+
π
4
∈[
π
4
，
3π
4
]，
∴1≤
2
sin（2x+
π
4
）≤
2
，
則
1
2
≤
2
sin（2x+
π
4
）-
1
2
≤
2
-
1
2
．即所求式子的范圍為[
1
2
，
2
-
1
2
]．
點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及三角函數(shù)的恒等變換，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案