已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．
分析：（1）根據(jù)題意，由
a
⊥
b
，可得
a
•
b
=0，由數(shù)量積公式可得sinθ+cosθ=0，即tanθ=-1，結(jié)合θ的范圍，即可得答案；
（2）由向量模的計(jì)算方法，有|
a
+
b
|=
2
2
sin(θ+
π
4
)+3
，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，分析可得當(dāng)sin(θ+
π
4
)=1時(shí)，|
a
+
b
|有最大值，即可得答案．
解答：解：（1）由
a
⊥
b
，得
a
•
b
=0，
則有sinθ+cosθ=0，即tanθ=-1，
又由θ∈（-
π
2
，
π
2
）
因此θ=-
π
4

（2）|a+b|=
(sinθ+1)2+(cosθ+1)2
=
2(sinθ+cosθ)+3
=
2
2
sin(θ+
π
4
)+3
．
當(dāng)sin(θ+
π
4
)=1時(shí)，|
a
+
b
|有最大值，
此時(shí)θ=
π
4
，|
a
+
b
|的最大值為
2
2
+3
=
2
+1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，要掌握通過數(shù)量積來判斷向量垂直，計(jì)算向量的模的方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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