【題目】已知橢圓C:,直線l:y=kx+b與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)如果k+b=﹣,求動直線l所過的定點;
(2)記橢圓C的上頂點為D,如果∠ADB=,證明動直線l過定點P(0,﹣);
(3)如果b=﹣,點B關(guān)于y軸的對稱點為B,向直線AB是過定點?如果是,求出定點的坐標(biāo);如果不是,請說明理由.
【答案】(1)定點(1,﹣);(2)見解析;(3)定點(0,﹣2).
【解析】
(1)把b=﹣k﹣代入直線方程可得定點坐標(biāo);
(2)根據(jù)∠ADB=,可得,結(jié)合韋達(dá)定理可得關(guān)系;
(3)結(jié)合對稱性求出直線AB的方程,結(jié)合韋達(dá)定理,從而可得定點坐標(biāo).
(1)∵k+b=﹣,∴b=﹣k﹣,∴y=kx﹣k﹣=k(x﹣1)﹣,
所以動直線l過定點(1,﹣).
(2)聯(lián)立消去y得(1+2k2)x2+4kbx+2b2﹣2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=﹣ ,
∵∠ADB=,又D(0,1),
∴(x1,y1﹣1)(x2,y2﹣1)=x1x2+(y1﹣1)(y2﹣1)=x1x2+(kx1+b﹣1)(kx2+b﹣1)
=x1x2+k2x1x2+(b﹣1)2+k(b﹣1)(x1+x2)
=(1+k2)x1x2+k(b﹣1)(x1+x2)+(b﹣1)2
=(1+k2)×+k(b﹣1)×+(b﹣1)2
=(b﹣1),
∴(b﹣1)=0,又b≠1(否則直線l過D),
∴b=﹣,所以動直線l過定點(0,﹣).
(3)b=﹣,直線l為:y=kx﹣,由(2)知x1+x2=,
經(jīng)過A(x1,y1),B′(﹣x2,y2)的直線方程為: ,
∴ ,
令x=0得y﹣ ,
∴y=kx1﹣ ,
所以直線AB′是過定點(0,﹣2).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值為f(a),試確定滿足f(a)=的a的值,并求此時函數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年4月23日我市正式宣布實施“3+1+2”的高考新方案,“3”是指必考的語文、數(shù)學(xué)、外語三門學(xué)科,“1”是指在物理和歷史中必選一科,“2”是指在化學(xué)、生物、政治、地理四科中任選兩科.為了解我校高一學(xué)生在物理和歷史中的選科意愿情況,進(jìn)行了一次模擬選科. 已知我校高一參與物理和歷史選科的有1800名學(xué)生,其中男生1000人,女生800人. 按分層抽樣的方法從中抽取了36個樣本,統(tǒng)計知其中有17個男生選物理,6個女生選歷史.
(I)根據(jù)所抽取的樣本數(shù)據(jù),填寫答題卷中的列聯(lián)表. 并根據(jù)統(tǒng)計量判斷能否有的把握認(rèn)為選擇物理還是歷史與性別有關(guān)?
(II)在樣本里選歷史的人中任選4人,記選出4人中男生有人,女生有人,求隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望.(的計算公式見下),臨界值表:
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【題目】如圖,設(shè)點,直線,點在直線上移動,是線段與軸的交點,,.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)直線過點,與軌跡交于兩點,過點的直線與直線交于點,求證:軸.
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【題目】(本小題滿分12分)如圖,曲線由上半橢圓和部分拋物線 連接而成, 的公共點為,其中的離心率為.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)過點的直線與分別交于(均異于點),若,求直線的方程.
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【題目】《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖,所謂弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大的正方形,若圖中直角三角形兩銳角分別為,,且小正方形與大正方形面積之比為,則的值為( )
A. B. C. D.
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【題目】大衍數(shù)列,來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十“的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項,都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題其規(guī)律是:偶數(shù)項是序號平方再除以2,奇數(shù)項是序號平方減1再除以2,其前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,如圖所示的程序框圖是為了得到大衍數(shù)列的前100項而設(shè)計的,那么在兩個判斷框中,可以先后填入( )
A. 是偶數(shù)?,? B. 是奇數(shù)?,?
C. 是偶數(shù)?, ? D. 是奇數(shù)?,?
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的零點;
(2)令,在時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
(3)在(2)條件下,存在實數(shù),使得函數(shù)有三個零點,求取值范圍.
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