Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時(shí)，在處取得極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

①求的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）減區(qū)間為，增區(qū)間為．（Ⅱ）①②詳見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）由極值定義可得，從而可解得．再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，（Ⅱ）①先利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，即函數(shù)為非單調(diào)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)必有零點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)變化規(guī)律得函數(shù)最大值必大于零，又端點(diǎn)函數(shù)值趨于負(fù)無窮，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)必有兩個(gè)零點(diǎn)，最后解最大值大于零時(shí)的取值范圍,②等價(jià)于,由零點(diǎn)條件得，，兩式相加與相減再相除消去得,因此轉(zhuǎn)化為證明,即需證明,令,構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,得,即可得到結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）解：由已知得，

所以，所以．

所以．

則，

由得，由得．/span>

所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為．

（Ⅱ）①解：由已知．

所以，

當(dāng)時(shí)，顯然恒成立，此時(shí)函數(shù)在定義域內(nèi)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．當(dāng)時(shí)，令得，

令得；

令得．

所以極大值為，解得．

且時(shí)，，時(shí)，．

所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．

②證明：，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)．

所以，，

兩式相減得，兩式相加得．

要證，即證，

即證，即證．

令，即證．

令，則，

所以，即，

所以，所以．