Question

（如圖1）在平面四邊形中，為中點(diǎn)，，，且，現(xiàn)沿折起使，得到立體圖形（如圖2），又B為平面ADC內(nèi)一點(diǎn)，并且ABCD為正方形，設(shè)F，G，H分別為PB，EB，PC的中點(diǎn).

（1）求三棱錐的體積；
（2）在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使直線與直線所成角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，.

試題分析：本題考查空間兩條直線的位置關(guān)系、異面直線所成的角、直線與平面垂直和平行等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何中的問題，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.第一問，先用三角形中位線，證，所以利用線面平行的判定定理，得出平面，同理：平面，把與的夾角轉(zhuǎn)化為與的夾角，利用面面平行，轉(zhuǎn)化到平面的距離為到平面的距離，易得出距離為1，最后求轉(zhuǎn)化后的；第二問，由已知建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，用反證法，先假設(shè)存在，假設(shè)，求出向量和坐標(biāo)，用假設(shè)成立的角度，列出夾角公式，解出，如果有解即存在，否則不存在，并可以求出的坐標(biāo)及.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024438696432.png" style="vertical-align:middle;" />分別為的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面，同理：平面.
且，.
∴與的夾角等于與的夾角（設(shè)為）
易求.     4分
∵平面平面，∴到平面的距離即到平面的距離，過作的垂線，垂足為，則為到平面的距離.
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（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024439367430.png" style="vertical-align:middle;" />平面，，所以平面，所以.又因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024439383526.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形，所以.
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024439508714.png" style="vertical-align:middle;" />，

所以，
假設(shè)在線段存在一點(diǎn)使直線與直線所成角為.
依題意可設(shè)，其中.由，則.
由因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024439820702.png" style="vertical-align:middle;" />，,所以，
因?yàn)橹本�與直線所成角為，，
所以，即，
解得，所以，.
所以在線段存在一點(diǎn)，使直線與直線所成角為，此時(shí).