已知常數(shù)a>0，n為正整數(shù)，fn（x）=xn-（x+a）n（x>0）是關于x的函數(shù)，
（1）判定函數(shù)fn（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）對任意n≥a，證明fn+1′（n+1）<（n+1）fn′（n）。
解：（1）fn′（x）=nxn-1-n（x+a）n-1=n[xn-1-（x+a）n-1]，
∵a>0，x>0，
∴fn′（x）<0，
∴fn（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減。
（2）由上知：當x>a>0時，fn（x）=xn-（x+a）n是關于x的減函數(shù)，
∴當n≥a時，有：（n+1）n-（n+1+a）n≤nn-（n+a）n，
又∵fn+1′（x）=（n+1）[xn-（x+a）n]，
∴fn+1′（n+1）=（n+1）[（n+1）n-（n+1+a）n]<（n+1）[nn-（n+a）n]
=（n+1）[nn-（n+a）（n+a）n-1]
（n+1）fn′（n）=（n+1）n[nn-1-（n+a）n-1]=（n+1）[nn-n（n+a）n-1]，
∵（n+a）>n，
∴fn+1′（n+1）<（n+1）fn′（n）。
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