(03年新課程高考)已知常數(shù)a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),經(jīng)過原點(diǎn)O以c+λi為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A(0,a)以i-2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P,其中λ∈R.試問:是否存在兩個定點(diǎn)E、F,使得|PE|+|PF|為定值.若存在,求出E、F的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(i)當(dāng)時,方程①是圓方程,故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F;(ii)當(dāng)時,方程①表示橢圓,焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個定點(diǎn);(iii)當(dāng)時,方程①也表示橢圓,焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個定點(diǎn).
【易錯點(diǎn)分析】此題綜合程度較高,一方面學(xué)生對題意的理解如對方向向量的概念的理解有誤,另一面在向量的問題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲線的定義來解答,使思維陷入僵局。
解析:根據(jù)題設(shè)條件,首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程,據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn),使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.∵i=(1,0),c=(0,a), ∴c+λi=(λ,a),i-2λc=(1,-2λa)因此,直線OP和AP的方程分別為 和 .消去參數(shù)λ,得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.整理得 ……① 因?yàn)?img width=41 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/187/249987.gif">所以得:(i)當(dāng)時,方程①是圓方程,故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F;(ii)當(dāng)時,方程①表示橢圓,焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個定點(diǎn);(iii)當(dāng)時,方程①也表示橢圓,焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個定點(diǎn).
【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算,求軌跡的方法,橢圓的方程和性質(zhì),利用方程判定曲線的性質(zhì),曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。在高考中向量與圓錐曲線的結(jié)合是成為高考命題的主旋律,在解題過程中一方面要注意在給出的向量問題情景中轉(zhuǎn)化出來另一方面也要注意應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決解析幾何問題如:線段的比值、長度、夾角特別是垂直、點(diǎn)共線等問題,提高自已應(yīng)用向量知識解決解析幾何問題的意識。
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