【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=a,點(diǎn)P在邊AB上,設(shè) =λ (λ>0),過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AC于E,作PF∥AC交BC于F.沿PE將△APE翻折成△A′PE,使平面A′PE⊥平面ABC;沿PF將△BPF翻折成△B′PF,使平面B′PF⊥平面ABC.
(1)求證:B′C∥平面A′PE;
(2)是否存在正實(shí)數(shù)λ,使得二面角C﹣A′B′﹣P的大小為60°?若存在,求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)證明:∵FC∥PE,F(xiàn)C平面A'PE,∴FC∥平面A'PE.
∵平面A'PE⊥平面ABC,且A'E⊥PE,∴A'E⊥平面ABC.
同理,B'F⊥平面ABC,∴B'F∥A'E,從而B'F∥平面A'PE.
∴平面B'CF∥平面A'PE,從而B'C∥平面A'PE;
(2)解:存在正實(shí)數(shù)λ= ,使得二面角C﹣A′B′﹣P的大小為60°.
事實(shí)上,以C為原點(diǎn),CB所在直線為x軸,CA所在直線為y軸,過(guò)C且垂直于平面ABC的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.
∵AC=BC=a,且 =λ (λ>0),
∴C(0,0,0),A′(0, , ),B′( ,0, ),P( , ,0).
∴ =(0, , ), =( ,﹣ , ), =(0, ,﹣ ).
平面CA'B'的一個(gè)法向量 =( ,λ,﹣1),平面PA'B'的一個(gè)法向量 =(1,1,1).
由 = =cos60°= ,
化簡(jiǎn)得 ﹣8λ+9=0,解得λ= .
∴存在正實(shí)數(shù)λ= ,使得二面角C﹣A′B′﹣P的大小為60°.
【解析】(1)利用線面平行的判定定理即可證明FC∥平面A'PE.再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明B′F∥A′E,進(jìn)而得到B'F∥平面A'PE.利用面面平行的判定定理即可得到 平面B'CF∥平面A'PE,從而得到線面平行;(2)通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系,由已知結(jié)合 =λ (λ>0)求得所用點(diǎn)的坐標(biāo),把二面角C﹣A′B′﹣P的大小為60°轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量的夾角列式求得λ的值.
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位.已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),0<α<π),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=4cosθ. (Ⅰ)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)α變化時(shí),求|AB|的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且2asinB= b.
(1)求角A的大;
(2)若0<A< ,a=6,且△ABC的面積S= ,求△ABC的周長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x3﹣ x2+logax,(a>0且a≠1)為定義域上的增函數(shù),f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),且f'(x)的最小值小于等于0. (Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù) ,且g(x1)+g(x2)=0,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P為函數(shù)f(x)=lnx的圖象上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q為圓 上任意一點(diǎn),則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)上稱函數(shù)y=kx+b(k,b∈R,k≠0)為線性函數(shù).對(duì)于非線性可導(dǎo)函數(shù)f(x),在點(diǎn)x0附近一點(diǎn)x的函數(shù)值f(x),可以用如下方法求其近似代替值:f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x﹣x0).利用這一方法, 的近似代替值( )
A.大于m
B.小于m
C.等于m
D.與m的大小關(guān)系無(wú)法確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣1|+|ax﹣5|(0<a<5).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥9的解集;
(2)如果函數(shù)y=f(x)的最小值為4,求實(shí)數(shù)a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AC∩BD=O,E是線段B1C(含端點(diǎn))上的一動(dòng)點(diǎn),則 ①OE⊥BD1;
②OE∥面A1C1D;
③三棱錐A1﹣BDE的體積為定值;
④OE與A1C1所成的最大角為90°.
上述命題中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+2n+1.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=an2n , 求{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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