Question

已知函數(shù)的減區(qū)間是（-2，2）
（1）試求m,n的值；
（2）求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的切線方程；
（3）過(guò)點(diǎn)A(1,t)，是否存在與曲線相切的3條切線，若存在，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

⑴m=1，n="0;" ⑵或;⑶存在, .

解析試題分析：（1）由已知函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為(-2,2)即為的解集為(-2,2)，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m與n的值即可；（2）當(dāng)A為切點(diǎn)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=1處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程，化成一般式即可，當(dāng)A不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，），這時(shí)切線的斜率是k=，將點(diǎn)A（1，-11）代入得到關(guān)于x₀的方程，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求出切線方程；（3）存在滿足條件的三條切線．設(shè)點(diǎn)P（x₀，）是曲線f（x）=x³-12x的切點(diǎn)，寫(xiě)出在P點(diǎn)處的切線的方程為y-=（x-x₀）將點(diǎn)A（1，t）代入，將t分離出來(lái)，根據(jù)有三條切線，所以方程應(yīng)有3個(gè)實(shí)根，設(shè)g（x）=2x³-3x²+t+12，只要使曲線有3個(gè)零點(diǎn)即可．建立不等關(guān)系解之即可．
試題解析：⑴由題意知：的解集為（-2，2），所以，-2和2為方程3mx²+4nx-12=0的根，由韋達(dá)定理知，解得:m=1，n=0.
⑵∵，∴，∵
當(dāng)A為切點(diǎn)時(shí)，切線的斜率 ，
∴切線為，即；               
當(dāng)A不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，這時(shí)切線的斜率是，
切線方程為，即   
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A（1，-11）， ，
∴，
∴或，而為A點(diǎn)，即另一個(gè)切點(diǎn)為，
∴，
切線方程為 ，即
所以，過(guò)點(diǎn)的切線為或.
⑶ 存在滿足條件的三條切線.                           
設(shè)點(diǎn)是曲線的切點(diǎn)，
則在P點(diǎn)處的切線的方程為 即
因?yàn)槠溥^(guò)點(diǎn)A（1，t），所以，，   
由于有三條切線，所以方程應(yīng)有3個(gè)實(shí)根，       
設(shè)，只要使曲線有3個(gè)零點(diǎn)即可．
設(shè) =0， ∴分別為的極值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，在和 上單增，
當(dāng)時(shí)，在上單減，
所以，為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn).
所以要使曲線與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)即，
解得：.
考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;2.導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.