【題目】已知函數(shù)f(x)=(ax+1)ex﹣(a+1)x﹣1.
(1)求y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程;
(2)若x>0時,不等式f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f'(x)=(ax+1+a)ex﹣(a+1),
∴f'(0)=0,
因此y=f(x)在(0,f(0))處的切線l的斜率為0,
又f(0)=0,
∴y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程為y=0;
(2)解:當x>0時,f(x)=(ax+1)ex﹣(a+1)x﹣1>0恒成立,
令g(x)=f′(x)=(ax+1+a)ex﹣(a+1),則g′(x)=(ax+1+2a)ex,
若a≥0,則g′(x)=(ax+1+2a)ex>0,g(x)=(ax+1+a)ex﹣(a+1)在(0,+∞)上為增函數(shù),
又g(0)=0,∴g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
由f(0)=0,∴x>0時,不等式f(x)>0恒成立;
若a<0,當a 時,g′(x)<0在(0,+∞)上成立,g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),
∵g(0)=0,∴g(x)<0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),
由f(0)=0,∴x>0時,不等式f(x)>0不成立;
當 <a<0時,x∈(0, )時,g′(x)>0,x∈( )時,g′(x)<0,
g(x)在(0,+∞)上有最大值為g( ),當x→+∞時,g(x)<0,即f′(x)<0,
∴存在x0∈( ),使f(x)<0,即x>0時,不等式f(x)>0不恒成立.
綜上,a的取值范圍為[0,+∞).
【解析】(1)求出原函數(shù)的導函數(shù),得到f'(0)=0,再求出f(0)=0,利用直線方程的點斜式求得y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程;(2)令g(x)=f′(x)=(ax+1+a)ex﹣(a+1),則g′(x)=(ax+1+2a)ex , 然后對a分類分析,當a≥0,則g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),結(jié)合g(0)=0,可得g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),再由f(0)=0,可得x>0時,不等式f(x)>0恒成立;當a<0時,由導數(shù)分析x>0時,不等式f(x)>0不恒成立,由此可得a的取值范圍.
【考點精析】認真審題,首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】f(x)是定義在非零實數(shù)集上的函數(shù),f′(x)為其導函數(shù),且x>0時,xf′(x)﹣f(x)<0,記a= ,b= ,c= ,則( )
A.a<b<c
B.c<a<b
C.b<a<c
D.c<b<a
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點,自M、N向準線l作垂線,垂足分別為M1、N1.
(1)求;
(2)記△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面積分別為、、,求
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】學校某文具商店經(jīng)營某種文具,商店每銷售一件該文具可獲利3元,若供大于求則削價處理,每處理一件文具虧損1元;若供不應求,則可以從外部調(diào)劑供應,此時每件文具僅獲利2元.為了了解市場需求的情況,經(jīng)銷商統(tǒng)計了去年一年(52周)的銷售情況.
銷售量(件) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
周數(shù) | 2 | 4 | 8 | 13 | 13 | 8 | 4 |
以去年每周的銷售量的頻率為今年每周市場需求量的概率.
(1)要使進貨量不超過市場需求量的概率大于0.5,問進貨量的最大值是多少?
(2)如果今年的周進貨量為14,寫出周利潤Y的分布列;
(3)如果以周利潤的期望值為考慮問題的依據(jù),今年的周進貨量定為多少合適?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲C的極坐標方程ρ=2sinθ,設直線L的參數(shù)方程 ,(t為參數(shù))設直線L與x軸的交點M,N是曲線C上一動點,求|MN|的最大值 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 公比q>0,S2=2a2﹣2,S3=a4﹣2.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設bn= ,Tn為{bn}的前n項和,求T2n .
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