Question

已知函數(shù)f(x)＝x²－2acos kπ·ln x(k∈N^*，a∈R，且a>0)．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若k＝2 04，關(guān)于x的方程f(x)＝2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

（1）當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f(x)在(0，)上是單調(diào)減函數(shù)，在(，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）

解：(1)由已知得x>0
且f′(x)＝2x－(－1)^k·.
當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，f′(x)>0，
則f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，
則f′(x)＝2x－＝.
所以當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f′(x)<0；
當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.
故當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f(x)在(0，)上是單調(diào)減函數(shù)，在(，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．
(2)若k＝2 014，
則f(x)＝x²－2aln x(k∈N^*)．
記g(x)＝f(x)－2ax＝x²－2aln x－2ax，
則g′(x)＝2x－－2a＝(x²－ax－a)．
則方程f(x)＝2ax有唯一解，即g(x)＝0有唯一解．
令g′(x)＝0，得x²－ax－a＝0.
因?yàn)閍>0，x>0，
所以x₁＝<0(舍去)，
x₂＝.
當(dāng)x∈(0，x₂)時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(0，x₂)上是單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)x∈(x₂，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)在(x₂，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．
當(dāng)x＝x₂時(shí)，g′(x₂)＝0，g(x)_min＝g(x₂)．
因?yàn)間(x)＝0有唯一解，所以g(x₂)＝0.則
，即
兩式相減得2aln x₂＋ax₂－a＝0，
因?yàn)閍>0，所以2ln x₂＋x₂－1＝0.(*)
設(shè)函數(shù)h(x)＝2lnx＋x－1.
因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，h(x)是增函數(shù)，所以h(x)＝0至多有一個(gè)解．
因?yàn)閔(1)＝0，所以方程(*)的解為x₂＝1.
從而解得a＝.