【題目】已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）用表示，中的較大者，記函數(shù)．若函數(shù)在內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)垂直關(guān)系，利用求得；（Ⅱ）求導(dǎo)后，分別在和兩個(gè)范圍內(nèi)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）首先確定在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由于，根據(jù)定義可知此時(shí)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則為零點(diǎn)，反之則不是零點(diǎn)，由此可得兩種情況下的范圍；當(dāng)時(shí)，結(jié)合單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理可判斷出時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).此時(shí)綜合為零點(diǎn)時(shí)的范圍，即可得到所求結(jié)果.

（Ⅰ）

由題意得：，解得：

（Ⅱ）由（1）知，

①當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增

②當(dāng)時(shí)，令，解得：或

當(dāng)或時(shí)，，則單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為

（Ⅲ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

在內(nèi)單調(diào)遞減

⑴當(dāng)時(shí)，

依題意，，則函數(shù)無零點(diǎn)；

⑵當(dāng)時(shí)，，

①若，即，則是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；

②若，即，則不是函數(shù)的零點(diǎn)；

⑶當(dāng)時(shí)，，只需考慮函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的情況

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增

又

（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，

又

此時(shí)函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增

，

此時(shí)函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)

綜合⑴⑵⑶可知，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】為了解觀眾對(duì)某綜藝節(jié)目的評(píng)價(jià)情況，欄目組隨機(jī)抽取了名觀眾進(jìn)行評(píng)分調(diào)查(滿分分)，并統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖，以下說法錯(cuò)誤的是（ ）

A.參與評(píng)分的觀眾評(píng)分在的有人

B.觀眾評(píng)分的眾數(shù)約為分

C.觀眾評(píng)分的平均分約為分

D.觀眾評(píng)分的中位數(shù)約為分

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【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的面積為.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.當(dāng)時(shí)，求的最小值.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,過軸正方向上一點(diǎn)任作一直線,與拋物線相交于兩點(diǎn),一條垂直于軸的直線分別與線段和直線交于點(diǎn).

(1)若,求的值;

(2)若為線段的中點(diǎn),求證:直線與該拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

(3)若直線的斜率存在,且與該拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),試問是否一定為線段的中點(diǎn)?說明理由.

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【題目】已知橢圓：（），過原點(diǎn)的兩條直線和分別與交于點(diǎn)、和、，得到平行四邊形.

（1）當(dāng)為正方形時(shí)，求該正方形的面積.

（2）若直線和關(guān)于軸對(duì)稱，上任意一點(diǎn)到和的距離分別為和，當(dāng)為定值時(shí)，求此時(shí)直線和的斜率及該定值.

（3）當(dāng)為菱形，且圓內(nèi)切于菱形時(shí)，求，滿足的關(guān)系式.

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【題目】在正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，、分別是線段與上的點(diǎn)，則與平面平行的直線有（ ）

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【題目】已知點(diǎn)，分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，，且該橢圓的離心率為；

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且不與橢圓頂點(diǎn)重合，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，若直線斜率為，直線的斜率為，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程.

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【題目】已知函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x+1|（a∈R），g（x）＝|2x﹣1|+2.

（1）若a＝1，證明：不等式f（x）≤g（x）對(duì)任意的x∈R成立；

（2）若對(duì)任意的m∈R，都有t∈R，使得f（m）＝g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn).

（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（ii）證明：.

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