Question

 已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)恒成立．

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合；

（Ⅲ）求證：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 減區(qū)間是,增區(qū)間是；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）確定定義域，求，由 求得增區(qū)間，由 求得減區(qū)間；（Ⅱ）利用在區(qū)間上，恒成立，則求解；（Ⅲ）利用構(gòu)造法，構(gòu)造新函數(shù)求解.

試題解析：(Ⅰ),,，

的減區(qū)間是,增區(qū)間是.                        (2分)

(Ⅱ)恒成立,即,

,恒成立.                               (3分)

設(shè),,

由于在上是增函數(shù),且,

時(shí),是減函數(shù),時(shí),是增函數(shù),

,從而若恒成立,必有.   (5分)

又,的取值集合為.                                (6分)

(Ⅲ)由(Ⅰ)知,,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,

時(shí),有.      

,                        (9分)

設(shè),

則,

當(dāng)時(shí),是減函數(shù),

當(dāng)時(shí),是增函數(shù),

,即成立.                     (12分)

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，恒成立，構(gòu)造法.