【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn),D是B1C1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:A1D⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.

【答案】證明:(I)∵AB=AC=2,D是B1C1的中點(diǎn).

∴A1D⊥B1C1,

∵BC∥B1C1,

∴A1D⊥BC,

∵A1O⊥面ABC,A1D∥AO,

∴A1O⊥AO,A1O⊥BC

∵BC∩AO=O,A1O⊥A1D,A1D⊥BC

∴A1D⊥平面A1BC

解:(II)

建立坐標(biāo)系如圖

∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4

∴O(0,0,0),B(0, ,0),B1(﹣ , , ),A1(0,0,

=(0, ,﹣ ), =(0, ,0), =( ,0, ),

設(shè)平面BB1C1C的法向量為 =(x,y,z),

即得出

得出 =( ,0,1),| |=4,| |=

= ,

∴cos< , >= =

可得出直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值為


【解析】(I)連接AO,A1D,根據(jù)幾何體的性質(zhì)得出A1O⊥A1D,A1D⊥BC,利用直線平面的垂直定理判斷.(II)利用空間向量的垂直得出平面BB1C1C的法向量 =( ,0,1),|根據(jù)與 數(shù)量積求解余弦值,即可得出直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角是解答本題的根本,需要知道一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則

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A.2
B.
C.
D.

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第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

參會(huì)人數(shù)x(萬人)

11

9

8

10

12

原材料t(袋)

28

23

20

25

29

(Ⅰ)請(qǐng)根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出t關(guān)于x的線性回歸方程 ;
(Ⅱ)已知購買原材料的費(fèi)用C(元)與數(shù)量t(袋)的關(guān)系為 投入使用的每袋原材料相應(yīng)的銷售收入為600元,多余的原材料只能無償返還.若餐廳原材料現(xiàn)恰好用完,據(jù)悉本次交易會(huì)大約有14萬人參加,根據(jù)(Ⅰ)中求出的線性回歸方程,預(yù)測餐廳應(yīng)購買多少袋原材料,才能獲得最大利潤,最大利潤是多少?(注:利潤L=銷售收入﹣原材料費(fèi)用).
(參考公式: =

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A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

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