Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.

（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明（1）中的猜想.

Answer 1

【答案】（1）a1＝－1；a2＝－；a3＝－；猜想an＝－（n∈N*）（2）證明見解析

【解析】

（1）分別令n＝1、2，通過解一元二次方程結(jié)合已知的遞推公式可以求出a1，a2，同理求出a3，根據(jù)它們的值的特征猜想{an}的通項(xiàng)公式；

（2）利用數(shù)學(xué)歸納法，通過解一元二次方程可以證明即可.

（1）當(dāng)n＝1時(shí)，由已知得a1＝＋－1，

即

∴

當(dāng)n＝2時(shí)，由已知得a1＋a2＝＋－1，

將a1＝－1代入并整理得＋2a2－2＝0.

∴a2＝－（a2>0）.

同理可得a3＝－.

猜想an＝－（n∈N*）.

（2）【證明】①由（1）知，當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，通項(xiàng)公式成立.

②假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥3，k∈N*）時(shí)，通項(xiàng)公式成立，

即ak＝－.

由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，

將ak＝－代入上式，整理得

＋2ak＋1－2＝0，

∴ak+1＝－，

即n＝k＋1時(shí)通項(xiàng)公式成立.

根據(jù)①②可知，對(duì)所有n∈N*，an＝－成立.