Question

（2012•崇明縣一模）定義：對于定義域為D的函數(shù)f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，稱函數(shù)f（x）在D上是“T”函數(shù)．已知下列函數(shù)：
①f（x）=

1

x

；　
②f（x）=log₂（x²+2）；
③f（x）=2^x（x∈（0，+∞））；　
④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中屬于“T”函數(shù)的序號是

③

．（寫出所有滿足要求的函數(shù)的序號）

Answer 1

分析：①

1

t+1

=

1

t

+1，屬于t²+t+1=0，方程無實數(shù)解；
②log₂[（t+1）²+2]=log₂（t²+2）+log₂3，∴2t²-2t+3=0，方程無實數(shù)解；
③2^t+1=2^t+2，屬于t=1＞0，即存在t=1∈（0，+∞），使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立；
④cos（π+tπ）=costπ-1，所以t=

1

3

，此時t+1=

4

3

∉[0，1]．

解答：解：①由題意，若存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，則

1

t+1

=

1

t

+1，整理得t²+t+1=0，方程無實數(shù)解，故①不是“T”函數(shù)；
②由定義可得：log₂[（t+1）²+2]=log₂（t²+2）+log₂3，即2t²-2t+3=0，方程無實數(shù)解，故②不是“T”函數(shù)；
③由定義可得：2^t+1=2^t+2，∴t=1＞0，即存在t=1∈（0，+∞），使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，故③是“T”函數(shù)；
④由定義可得：cos（π+tπ）=costπ-1，即2costπ=1，解得t=

1

3

，此時t+1=

4

3

∉[0，1]，故④不是“T”函數(shù)．
綜上知，屬于“T”函數(shù)的序號是③
故答案為：③

點評：本題考查新定義，考查學生的閱讀能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．