Question

以一年為一個周期調查某商品出廠價格及該商品在商店銷售價格時發(fā)現(xiàn)：該商品出廠價格y₁是在6元的基礎上按月份隨正弦曲線波動的，已知3月份出廠價格最高為8元，7月份出廠價格最低為4元，而該商品在商店內的銷售價格y₂是在8元的基礎上按月份也是隨正弦曲線波動的，并已知5月份銷售價格最高為10元，9月份銷售價格最低為6元．
（1）分別求出y₁、y₂關于第x月份的函數解析式；
（2）假設某商店每月進貨這種商品m件，且當月能售完，問哪個月盈利最大？最大盈利為多少元？

Answer 1

分析：（1）分別設出出廠價波動函數和售價波動函數，利用最高和最低價分別振幅A和B，根據月份求得周期進而求得ω₁和ω₂，根據最大值求得φ₁和φ_2；
（2）由（1）中出廠價格及銷售價格，利用y=y₂-y₁，求得每件盈利的表達式，利用正弦函數的性質求得y取最大值時x的值．

解答：解：（I）設y₁=Asin（ωx+φ）+B
∵y₁是在6元的基礎上按月份隨正弦曲線波動的，
∴B=6
又∵3月份出廠價格最高為8元，7月份出廠價格最低為4元，
∴A=2，T=2×（7-3）=8=

2π

ω

，
∴ω=

π

4

則y₁=2sin（

π

4

x+φ）+6
將（3，8）點代入得：φ=-

π

4

故y₁=2sin（

π

4

x-

π

4

）+6
同時由y₂是在8元的基礎上按月份也是隨正弦曲線波動的，并已知5月份銷售價格最高為10元，9月份銷售價格最低為6元
可得y₂=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+8
（II）每件盈利  y=m（y₂-y₁）=2msin（

π

4

x-

π

4

-

π

2

）+8m-[2msin（

π

4

x-

π

4

）+6m]=（-2

2

sin

π

4

x+2）m
則當當sin

π

4

x=-1，

π

4

x=2kπ-

π

2

，x=8k-2時y取最大值
當k=1，即x=6時，y取最大值
∴估計6月份盈利最大

點評：本題主要考查了在實際問題中建立三角函數的模型的問題，函數模型的選擇與應用，三角函數的值域，突顯了運用三角函數的圖象和性質來解決問題．其中根據已知確定y=Asin（ωx+φ）的解析式是解答本題的關鍵．