Question

以一年為一個(gè)周期調(diào)查某商品出廠價(jià)格及該商品在商店銷(xiāo)售價(jià)格時(shí)發(fā)現(xiàn)：該商品出廠價(jià)格y₁是在6元的基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)的，已知3月份出廠價(jià)格最高為8元，7月份出廠價(jià)格最低為4元，而該商品在商店內(nèi)的銷(xiāo)售價(jià)格y₂是在8元的基礎(chǔ)上按月份也是隨正弦曲線波動(dòng)的，并已知5月份銷(xiāo)售價(jià)格最高為10元，9月份銷(xiāo)售價(jià)格最低為6元．
（1）分別求出y₁、y₂關(guān)于第x月份的函數(shù)解析式；
（2）假設(shè)某商店每月進(jìn)貨這種商品m件，且當(dāng)月能售完，問(wèn)哪個(gè)月盈利最大？最大盈利為多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）分別設(shè)出出廠價(jià)波動(dòng)函數(shù)和售價(jià)波動(dòng)函數(shù)，利用最高和最低價(jià)分別振幅A和B，根據(jù)月份求得周期進(jìn)而求得ω₁和ω₂，根據(jù)最大值求得φ₁和φ_2；
（2）由（1）中出廠價(jià)格及銷(xiāo)售價(jià)格，利用y=y₂-y₁，求得每件盈利的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得y取最大值時(shí)x的值．
解答：解：（I）設(shè)y₁=Asin（ωx+φ）+B
∵y₁是在6元的基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)的，
∴B=6
又∵3月份出廠價(jià)格最高為8元，7月份出廠價(jià)格最低為4元，
∴A=2，T=2×（7-3）=8=，
∴ω=
則y₁=2sin（x+φ）+6
將（3，8）點(diǎn)代入得：φ=
故y₁=2sin（x）+6
同時(shí)由y₂是在8元的基礎(chǔ)上按月份也是隨正弦曲線波動(dòng)的，并已知5月份銷(xiāo)售價(jià)格最高為10元，9月份銷(xiāo)售價(jià)格最低為6元
可得y₂=2sin（x）+8
（II）每件盈利  y=m（y₂-y₁）=2msin（x-）+8m-[2msin（x）+6m]=（-2sin x+2）m
則當(dāng)當(dāng)sin x=-1，x=2kπ-，x=8k-2時(shí)y取最大值
當(dāng)k=1，即x=6時(shí)，y取最大值
∴估計(jì)6月份盈利最大
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)的模型的問(wèn)題，函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，三角函數(shù)的值域，突顯了運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題．其中根據(jù)已知確定y=Asin（ωx+φ）的解析式是解答本題的關(guān)鍵．