Question

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù)，且.若對任意的， 都有.

（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明： 在定義域上為增函數(shù)；

（2）若，求的取值范圍；

（3）若不等式對所有的 和都恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）任取，作差，可證明從而可得結(jié)果；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域，列出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可得結(jié)果；（3）不等式恒成立等價于，即對任意恒成立，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)， ,

,∴在上為增函數(shù).

（2） 在單調(diào)遞增，

.

（3）要使對任意恒成立，只要在即可，由（1）知在單調(diào)遞增， ， ， 對任意恒成立，令，只要且即可， 且.

【方法點晴】本題主要考查抽象函數(shù)的定義域、抽象函數(shù)的單調(diào)性及抽象函數(shù)解不等式，屬于難題.根據(jù)抽象函數(shù)的單調(diào)性解不等式應(yīng)注意以下三點：（1）一定注意抽象函數(shù)的定義域（這一點是同學(xué)們?nèi)菀资韬龅牡胤�，不能掉以輕心）；（2）注意應(yīng)用函數(shù)的奇偶性（往往需要先證明是奇函數(shù)還是偶函數(shù)）；（3）化成 后再利用單調(diào)性和定義域列不等式組.