Question

如圖，在三棱錐S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.
（Ⅰ）證明：平面SBC⊥平面SAB；
（Ⅱ）求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.
 

Answer 1

見解析.

本試題主要考查了立體幾何中三棱錐中關(guān)于面面垂直的判定和二面角的求解綜合試題，通過線面垂直來判定面面垂直，而二面角的求解可以建立空間直角坐標(biāo)系，借助于平面的法向量來完成，也可以通過三垂線定理求作二面角，借助于平面的直角三角形求解得到。
解：（Ⅰ）平面SBC⊥平面SAB.理由如下：
因?yàn)椤蟂AB＝∠SAC＝90°，
所以SA⊥AB，SA⊥AC，
所以SA⊥底面ABC.                           ………………………………2分
又BC在平面ABC內(nèi)，所以SA⊥BC.
又AB⊥BC，所以BC⊥平面SAB.                ………………………………4分
因?yàn)锽C在平面SBC內(nèi)，所以平面SBC⊥平面SAB. ………6分

（Ⅱ）作AD⊥SB，垂足為D.
由（Ⅰ）知平面SBC⊥平面SAB，
則有AD⊥平面SBC.                       …………8分
作AE⊥SC，垂足為E，連結(jié)DE，
則∠AED為二面角A－SC－B的平面角.   ………10分
設(shè)SA＝AB＝2，則SB＝BC ＝，AD＝，
AC＝，SC＝4，可求得AE＝.

所以二面角A－SC－B的平面角的正弦值為.……13分