Question

設(shè)常數(shù)a＞0，(ax2+

1

x

)4展開式中x3的系數(shù)為

3

2

，則a=

 

；

lim

n→x

（a+a²+…aⁿ）=

 

．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式Tr+1=c₄^r（ax²）^4-r（

1

x

）^r，整理后，令x的次數(shù)等于3，從而解得a，
（2）由a=

1

2

＜1，可知數(shù)列a，a²…aⁿ是遞降等比數(shù)列，則

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示無窮遞降等比數(shù)列的各項(xiàng)和，利用無窮遞降等比數(shù)列的各項(xiàng)和公式，可得解．

解答：解：（1）由Tr+1=c₄^r（ax²）^4-r（

1

x

）^r，整理得Tr+1=c₄^ra^4-rx8-

5

2

r，
r=2時，即c₄²a²=

3

2

，∴a=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

（2）由a=

1

2

，可知數(shù)列a，a²…aⁿ是遞降等比數(shù)列，
則

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示無窮遞降等比數(shù)列的各項(xiàng)和，
由無窮遞降等比數(shù)列的各項(xiàng)和公式（

lim

n→∞

sn=

a1

1-q

），
可知

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

a

1-a

═

1 2

1- 1 2

=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評：本題（1）主要考查二項(xiàng)式展開式特定項(xiàng)的系數(shù)的求法，需要熟記展開式的通項(xiàng)公式，即Tr+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常見題型．
（2）主要考查等比數(shù)列求和公式及極限的運(yùn)算，需要注意：當(dāng)a的絕對值小于1時，

lim

n→∞

aⁿ=0，要記住無窮遞降等比數(shù)列各項(xiàng)和公式

lim

n→∞

s_n=

a1

1-q

．在選擇填空中可以加快速度．