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已知函數y=x+
a
x
旦（a＞0）有如下的性質：在區(qū)間（0，
a
]上單調遞減，在[
a
，+∞）上單調遞增．
（1）如果函數f（x）=x+
2b
x
在（0，4]上單調遞減，在[4，+∞）上單調遞增，求常數b的值．
（2）設常數a∈[l，4]，求函數y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值．
分析：（1）由所給性質求得函數y=x+
a
x
的單調區(qū)間，對比所給單調區(qū)間，即可得到方程，解出即可；
（2）根據性質求出函數單調區(qū)間，由a的范圍知函數y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值只能在端點處取得，討論函數端點處函數值的大小即可得到答案．
解答：解：（1）由性質知，函數在（0，
2b
]上是單調遞減，在[
2b
，+∞）上單調遞增，
∴
2b
=4，解得b=4．
（2）由性質知，函數在（0，
a
]上單調遞減，在[
a
，+∞）上單調遞增，
∵a∈[1，4]，∴函數y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值只能在端點處取得，
當x=1時，y=1+a，當x=2時，y=2+
a
2
，
令1+a≤2+
a
2
，得a≤2，
∴ymax=
2+
a
2
，(1≤a≤2)
1+a，(2＜a≤4)
．
點評：本題考查函數單調性的性質，考查學生運用所學知識分析解決新問題的能力，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞）上是增函數．
（Ⅰ）如果函數y=x+
2b
x
（x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（Ⅱ）研究函數y=x2+
c
x2
（常數c＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（Ⅲ）對函數y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（常數a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數F（x）=（x2+
1
x
）n+（
1
x2
+x）n（n是正整數）在區(qū)間[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，
a
上是減函數，在
a
，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+
2b
x
在（0，4）上是減函數，在（4，+∞）上是增函數，求實常數b的值；
（2）設常數c∈1，4，求函數f（x）=x+
c
x
（1≤x≤2）的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
（x＞0）有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+
b2
x
（x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（2）研究函數y=x2+
c
x2
（x＞0，常數c＞0）在定義域內的單調性，并用定義證明（若有多個單調區(qū)間，請選擇一個證明）；
（3）對函數y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（x＞0，常數a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數F（x）=(x2+
1
x
)2+(
1
x2
+x)2在區(qū)間[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數y=x+
a
x
有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在(0，
a
]上是減函數，在[
a
，+∞)上是增函數，
（1）如果函數y=x+
3m
x
(x＞0)的值域是[6，+∞），求實數m的值；
（2）研究函數f(x)=x2+
a
x2
（常數a＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（3）若把函數f(x)=x2+
a
x2
（常數a＞0）在[1，2]上的最小值記為g（a），求g（a）的表達式．

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