Question

【題目】如圖，四棱臺中， 底面，平面平面為的中點.

（1）證明： ；

（2）若，且，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)平幾知識求，再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面即得；（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用解方程組得各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角相等或互補關系確定二面角的正弦值.

試題解析：（1）證明：連接，

∵為四棱臺，四邊形四邊形，

∴，由得， ，

又∵底面，∴四邊形為直角梯形，可求得，

又為的中點，所以，

又∵平面平面，平面平面，

∴平面平面，

∴；

（2）解：

在中， ，利用余弦定理可求得， 或，由于，所以，從而，知，

如圖，以為原點建立空間直角坐標系， ，

由于平面，所以平面的法向量為，

設平面的法向量為， ， ，

設，所以，

，

∴，

即二面角的正弦值為.