【題目】已知函數(shù), ,在處的切線方程為.
(1)求, ;
(2)若,證明: .
【答案】(1), ;(2)見解析
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到關(guān)于 的方程組,解出即可;
(2)由(1)可知, ,
由,可得,令, 利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得
,
從而證明.
試題解析:((1)由題意,所以,
又,所以,
若,則,與矛盾,故, .
(2)由(1)可知, ,
由,可得,
令,
,
令
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減,且;
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增;且,
所以在上當(dāng)單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,
故,
故.
【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法,以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,若直線與曲線相切;
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)在曲線上取兩點(diǎn), 與原點(diǎn)構(gòu)成,且滿足,求面積的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程為,
,消去參數(shù)可知曲線是圓心為,半徑為的圓,由直線與曲線相切,可得: ;則曲線C的方程為, 再次利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得
可得曲線C的極坐標(biāo)方程.
(2)由(1)不妨設(shè)M(),,(),
,
,
由此可求面積的最大值.
試題解析:(1)由題意可知直線的直角坐標(biāo)方程為,
曲線是圓心為,半徑為的圓,直線與曲線相切,可得: ;可知曲線C的方程為,
所以曲線C的極坐標(biāo)方程為,
即.
(2)由(1)不妨設(shè)M(),,(),
,
,
當(dāng) 時(shí), ,
所以△MON面積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多,大氣污染危害加重.
(1)大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病. 為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合計(jì) | |
男 | 20 | 5 | 25 |
女 | 10 | 15 | 25 |
合計(jì) | 30 | 20 | 50 |
問有多大的把握認(rèn)為是否患心肺疾病與性別有關(guān)?
(2)空氣質(zhì)量指數(shù)PM2.5(單位:μg/)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個(gè)值越高,就代表空氣污染越嚴(yán)重. 某市在2016年年初著手治理環(huán)境污染,改善空氣質(zhì)量,檢測(cè)到2016年1~5月的日平均PM2.5指數(shù)如下表:
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
PM2.5指數(shù)y | 79 | 76 | 75 | 73 | 72 |
試根據(jù)上表數(shù)據(jù),求月份x與PM2.5指數(shù)y的線性回歸直線方程,并預(yù)測(cè)2016年8月份的日平均PM2.5指數(shù) (保留小數(shù)點(diǎn)后一位).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),分別為線段上的動(dòng)點(diǎn),且滿足
(1)若求直線的方程;
(2)證明:的外接圓恒過定點(diǎn)(異于原點(diǎn))。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某零售店近5個(gè)月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表:
商店名稱 | |||||
銷售額/千萬元 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利潤(rùn)額/百萬元 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
(1)畫出散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖,說明兩個(gè)變量有怎樣的相關(guān)關(guān)系;
(2)用最小二乘法計(jì)算利潤(rùn)額關(guān)于銷售額的回歸直線方程;
(3)當(dāng)銷售額為4千萬元時(shí),利用(2)的結(jié)論估計(jì)該零售店的利潤(rùn)額(百萬元).
[參考公式:,]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某群體的人均通勤時(shí)間,是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí).某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng)中()的成員自駕時(shí),自駕群體的人均通勤時(shí)間為(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響,恒為分鐘,試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題:
(1)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí),公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間?
(2)求該地上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式;討論的單調(diào)性,并說明其實(shí)際意義.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足:a1=2,且a1 , a2 , a5成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求證:不論為何實(shí)數(shù)總為增函數(shù);
(2)確定的值,使為奇函數(shù);
(3)在(2)的條件下求的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是平行四邊形,,為的中點(diǎn),且有,現(xiàn)以為折痕,將折起,使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且
(1)證明:平面;
(2)若四棱錐的體積為,求四棱錐的側(cè)面積.
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