Question

如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M為AB的中點，四點P、A、M、C都在球O的球面上．

(1)證明：平面PAB⊥平面PCM；

(2)證明：線段PC的中點為球O的球心

 

Answer 1

【答案】

  (1)證明：∵AC＝BC，M為AB的中點，∴CM⊥AM.∵PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴PA⊥CM.

∵AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴CM⊥平面PAB.

∵CM⊂平面PCM，

∴平面PAB⊥平面PCM.

(2)證明：由(1)知CM⊥平面PAB.

∵PM⊂平面PAB，

∴CM⊥PM.

∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC.如圖，，取PC的中點N，連結(jié)MN、AN.在Rt△PAC中，點N為斜邊PC的中點，

∴AN＝PN＝NC.在Rt△PCM中，點N為斜邊PC的中點，

∴MN＝PN＝NC.

∴PN＝NC＝AN＝MN.

∴點N是球O的球心，即線段PC的中點為球O的球心．

【解析】略