（2012•廣州一模）如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=
6
，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點D，AD=1，CD=3，PD=
3
．
（1）證明△PBC為直角三角形；
（2）求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．
分析：（1）證明1：先證明PD⊥平面ABC，在△PBC中，可得BC=
6
，PB=
6
，PC=2
3
，從而BC2+PB2=PC2．
證明2：先證明PD⊥平面ABC，再證明BC⊥BD，BC⊥PD，從而可得BC⊥平面PBD．
（2）解法1：過點A作平面PBC的垂線，垂足為H，連PH，則∠APH為直線AP與平面PBC所成的角，利用三棱錐A-PBC與三棱錐P-ABC的體積相等，可求AH的長，在Rt△PAD中，，可求AP的長，從而可求直線AP與平面PBC所成角的正弦值；
解法2：過點D作DM∥AP，設(shè)DM∩PC=M，則DM與平面PBC所成的角等于AP與平面PBC所成的角，過點D作DN⊥PB于點N，連接MN，則可得∠DMN為直線DM與平面PBC所成的角，求出DN，DE的長，即可求得直線AP與平面PBC所成角的正弦值；
解法3：延長CB至點G，使得BG=BC，連接AG、PG，過點A作AK⊥PG于點K，可證∠APK為直線AP與平面PBC所成的角，計算AG，PG的長，可得直線AP與平面PBC所成角的正弦值為
6
3
；
解法4：建立空間直角坐標系，確定
AP
=(0，1，
3
)，平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，可求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．
解答：（1）證明1：因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD?平面PAC，PD⊥AC，所以PD⊥平面ABC．…（1分）
記AC邊上的中點為E，在△ABC中，AB=BC，所以BE⊥AC．
因為AB=BC=
6
，AC=4，所以BE=
BC2-CE2
=
(
6
)2-22
=
2
．…（3分）
因為PD⊥AC，所以△PCD為直角三角形．
因為PD=
3
，CD=3，
所以PC=
PD2+CD2
=
(
3
)2+32
=2
3
．…（4分）
連接BD，在Rt△BDE中，因為BE=
2
，DE=1，
所以BD=
BE2+DE2
=
(
2
)2+12
=
3
．…（5分）
因為PD⊥平面ABC，BD?平面ABC，所以PD⊥BD．
在Rt△PBD中，因為PD=
3
，BD=
3
，
所以PB=
PD2+BD2
=
(
3
)2+(
3
)2
=
6
．…（6分）
在△PBC中，因為BC=
6
，PB=
6
，PC=2
3
，
所以BC2+PB2=PC2．
所以△PBC為直角三角形．…（7分）
證明2：因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD?平面PAC，PD⊥AC，
所以PD⊥平面ABC．…（1分）
記AC邊上的中點為E，在△ABC中，因為AB=BC，所以BE⊥AC．
因為AB=BC=
6
，AC=4，所以BE=
BC2-CE2
=
(
6
)2-22
=
2
．…（3分）
連接BD，在Rt△BDE中，因為∠BED=90°，BE=
2
，DE=1，
所以BD=
BE2+DE2
=
(
2
)2+12
=
3
．…（4分）
在△BCD中，因為CD=3，BC=
6
，BD=
3
，
所以BC2+BD2=CD2，所以BC⊥BD．…（5分）
因為PD⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以BC⊥PD．…（6分）
因為BD∩PD=D，所以BC⊥平面PBD．
因為PB?平面PBD，所以BC⊥PB．
所以△PBC為直角三角形．…（7分）
（2）解法1：過點A作平面PBC的垂線，垂足為H，連PH，則∠APH為直線AP與平面PBC所成的角．…（8分）
由（1）知，△ABC的面積S△ABC=
1
2
×AC×BE=2
2
．…（9分）
因為PD=
3
，所以VP-ABC=
1
3
×S△ABC×PD=
1
3
×2
2
×
3
=
2
6
3
．…（10分）
由（1）知△PBC為直角三角形，BC=
6
，PB=
6
，
所以△PBC的面積S△PBC=
1
2
×BC×PB=
1
2
×
6
×
6
=3．…（11分）
因為三棱錐A-PBC與三棱錐P-ABC的體積相等，即VA-PBC=VP-ABC，
即
1
3
×3×AH=
2
6
3
，所以AH=
2
6
3
．…（12分）
在Rt△PAD中，因為PD=
3
，AD=1，
所以AP=
PD2+AD2
=
(
3
)2+12
=2．…（13分）
因為sin∠APH=
AH
AP
=
2
6
3
2
=
6
3
．
所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為
6
3
．…（14分）
解法2：過點D作DM∥AP，設(shè)DM∩PC=M，則DM與平面PBC所成的角等于AP與平面PBC所成的角．…（8分）
由（1）知BC⊥PD，BC⊥PB，且PD∩PB=P，所以BC⊥平面PBD．
因為BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD．
過點D作DN⊥PB于點N，連接MN，則DN⊥平面PBC．
所以∠DMN為直線DM與平面PBC所成的角．…（10分）
在Rt△PAD中，因為PD=
3
，AD=1，
所以AP=
PD2+AD2
=
(
3
)2+12
=2．…（11分）因為DM∥AP，所以
DM
AP
=
CD
CA
，即
DM
2
=
3
4
，所以DM=
3
2
．…（12分）
由（1）知BD=
3
，PB=
6
，且PD=
3
，
所以DN=
PD×BD
PB
=
3
×
3
6
=
6
2
．…（13分）
因為sin∠DMN=
DN
DE
=
6
2
3
2
=
6
3
，
所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為
6
3
．…（14分）
解法3：延長CB至點G，使得BG=BC，連接AG、PG，…（8分）
在△PCG中，PB=BG=BC=
6
，所以∠CPG=90°，即CP⊥PG．
在△PAC中，因為PC=2
3
，PA=2，AC=4，所以PA2+PC2=AC2，
所以CP⊥PA．
因為PA∩PG=P，所以CP⊥平面PAG．…（9分）
過點A作AK⊥PG于點K，
因為AK?平面PAG，所以CP⊥AK．
因為PG∩CP=P，所以AK⊥平面PCG．
所以∠APK為直線AP與平面PBC所成的角．…（11分）
由（1）知，BC⊥PB，所以PG=PC=2
3
．
在△CAG中，點E、B分別為邊CA、CG的中點，
所以AG=2BE=2
2
．…（12分）
在△PAG中，PA=2，AG=2
2
，PG=2
3
，
所以PA2+AG2=PG2，即PA⊥AG．…（13分）
因為sin∠APK=
AG
PG
=
2
2
2
3
=
6
3
．
所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為
6
3
．…（14分）
解法4：以點E為坐標原點，以EB，EC所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖的空間直角坐標系E-xyz，…（8分）
則A（0，-2，0），B(
2
，0，0)，C（0，2，0），P(0，-1，
3
)．
于是
練習冊系列答案
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（2012•廣州一模）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個小組（每小組4人）在期末考試中的數(shù)學成績．乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以a表示．已知甲、乙兩個小組的數(shù)學成績的平均分相同．
（1）求a的值；
（2）求乙組四名同學數(shù)學成績的方差；
（3）分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，記這兩名同學數(shù)學成績之差的絕對值為X，求隨機變量X的分布列和均值（數(shù)學期望）．

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x2
2!
+
x3
3!
+…+
xn
n!
（n∈N*）．
（1）證明：f（x）≥g1（x）；
（2）當x＞0時，比較f（x）與gn（x）的大小，并說明理由；
（3）證明：1+(
2
2
)1+(
2
3
)2+(
2
4
)3+…+(
2
n+1
)n≤gn(1)＜e（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•廣州一模）已知
e1
=(
3
，-1)，
e2
=(
1
2
，
3
2
)，若
a
=
e1
+(t2-3)•
e2
，
b
=-k•
e1
+t•
e2
，若
a
⊥
b
，則實數(shù)k和t滿足的一個關(guān)系式是
t3-3t-4k=0
t3-3t-4k=0
，
k+t2
t
的最小值為
-
7
4
-
7
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•廣州一模）已知平面向量
a
=(1，3)，
b
=(-3，x)，且
a
∥
b
，則
a
•
b
=（　�。�

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