Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)，其中a為常數(shù).

（I）若x=1是函數(shù)的一個極值點，求a的值

（II）若函數(shù)在區(qū)間（－1，0）上是增函數(shù)，求a的取值范圍

（III）若函數(shù)，在x=0處取得最大值，求正數(shù)a的取值范圍

Answer 1

【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ) (Ⅲ) .

【解析】試題分析：（1）求出，由是函數(shù)的一個極值點可知，解方程即可求的值；（2）要使函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，分三種情況討論，只需使求導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間大于等于零恒成立即可求的取值范圍；（3）要使函數(shù)，在處取得最大值，需求函數(shù)的極值并將之與函數(shù)端點值進行比較大小，得出在函數(shù)上的最大值只能為或，再根據(jù)條件在處取得最大值，得到即可求得正數(shù)的取值范圍.

試題解析：（I）

的一個極值點，

（II）①當(dāng)a=時， 在區(qū)間（－1，0）上是增函數(shù)， 符合題意

②當(dāng)

當(dāng)a>0時，對任意符合題意

當(dāng)a<0時，當(dāng)符合題意

綜上所述，

（III）

令

設(shè)方程（*）的兩個根為式得，不妨設(shè).

當(dāng)時， 為極小值，所以在[0，2]上的最大值只能為或

當(dāng)時，由于在[0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，所以在[0，2]上的最大值只能為或，

又已知在x=0處取得最大值，所以

即

【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題. 利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見方法：① 視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的; ② 利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問題求參數(shù)范圍，本題（3）是利用方法 ② 求解的．