【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+lnx(a∈R),g(x)=x2emx(m∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性及最值;

(2)若a>0,且對x1,x2∈[0,2],f(x1+1)≥g(x2)+a﹣1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)(﹣∞,﹣ln2]

【解析】

1.對分類討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,即可得出;(2)原命題等價(jià)于,且對,,恒成立.由(1)可知:當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,故,上單調(diào)遞增,可得1.對,恒成立,恒成立.對分類討論:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,即可得出.

(1)=a+(x∈(0,+∞)).

當(dāng)a≥0時(shí),≥0,

∴f(x)在x∈(0,+∞)單調(diào)遞增,無最值.

當(dāng)a<0時(shí),(x∈(0,+∞)).

可得函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)取得極小值即最小值,且最大值為f()=﹣1﹣ln(﹣a),無最大值.

(2)a>0,且對x1,x2∈[0,2],f(x1+1)≥g(x2)+a﹣1恒成立,等價(jià)于a>0,且對x∈[0,2],f(x+1)min≥g(x)max+a﹣1恒成立.

由(1)可知:當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)f(x)在x∈(0,+∞)單調(diào)遞增,故y=f(x+1)在x∈[0,2]上單調(diào)遞增,

∵x∈[0,2],∴(x+1)∈[1,3],故f(x+1)min=f(1)=a.

∴對x∈[0,2],f(x+1)min≥g(x)max+a﹣1恒成立對x∈[0,2],g(x)max≤1恒成立.

對m分類討論:m=0時(shí),g(x)=x2,x=0,函數(shù)g(x)取得最大值,g(2)=4,不滿足g(x)max≤1.

當(dāng)m≠0時(shí),=2xemx+mx2emx=xemx(mx+2).令=0,解得x=0,x=﹣

①當(dāng)﹣≥2,即﹣1≤m<0時(shí),對x∈[0,2],≥0,因此g(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增.∴g(x)max=g(2)=4e2m

由4e2m≤1,解得m≤﹣ln2.∴﹣1≤m≤﹣ln2.

②當(dāng)2>﹣>0,即m<﹣1時(shí),可得函數(shù)g(x)在x∈[0,﹣)上單調(diào)遞增,在(﹣,2]上單調(diào)遞減.

∴g(x)max=g(﹣)=e﹣2.由e﹣2≤1,解得m≤﹣.∴m<﹣1.

③當(dāng)﹣≤0,即m>0時(shí),對x∈[0,2],≥0,因此g(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增.∴g(x)max=g(2)=4e2m

此時(shí)4e2m≤1,不成立,舍去.

綜上可得:實(shí)數(shù)m的取值范圍是(﹣∞,﹣ln2].

練習(xí)冊系列答案
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A.yx具有正相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過點(diǎn)

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