Question

【題目】已知函數(shù)為常數(shù)．

（Ⅰ）若是函數(shù)的一個極值點，求此時函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對任意的，，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是； （2）.

【解析】

（1）求導后根據(jù)得到，于是，令可得增區(qū)間，令可得減區(qū)間．（2）由題意得到，故問題等價于：對于任意的，不等式恒成立，即恒成立．設(shè)，，求出函數(shù)的值域后可得所求范圍．

∵，

∴．

（1）∵是函數(shù)的一個極值點，

∴，

∴，

∴，

令，解得或；

令解得，

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（2）∵，

∴，當且僅當時等號成立．

∴當時，在上恒成立，

∴在上單調(diào)遞增，

∴．

故問題等價于：對于任意的，不等式恒成立，即恒成立．

設(shè)，，則，

令，則，

∴在上遞減，

∴，

故，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

∴，

∴實數(shù)的取值范圍為．