Question

【題目】如圖，已知邊長為2的菱形ABCD，其中∠BAD＝120°，AE∥CF，CF⊥平面ABCD，，.

（1）求證：平面BDE⊥平面BDF；

（2）求二面角D﹣EF﹣B的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）證明BD⊥CF，BD⊥AC，推出BD⊥平面ACFE，得到OF⊥BD，由已知推出AE⊥平面ABCD，得AE⊥AO且FC⊥CO，在直角梯形中可證明OF⊥OE，從而得OF⊥平面BDE，然后證得結(jié)論面面垂直.

（2）以OA，OB所在的直線分別為x軸，y軸，過O做垂直于平面ABCD的為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面DEF的一個法向量，平面BEF的一個法向量，通過空間向量的數(shù)量積求解二面角D﹣EF﹣B的大小.

（1）證明：因為AE∥CF，所以A、C、F、E四點共面.

又CF⊥平面ABCD，而BD平面ABCD，所以BD⊥CF，

由菱形ABCD，所以BD⊥AC，

且CF∩AC＝C，所以，BD⊥平面ACFE，

令BD∩AC＝O，如圖所示，OF平面ACFE，所以OF⊥BD，

因為AE∥CF且CF⊥平面ABCD，所以AE⊥平面ABCD，

則AE⊥AO且FC⊥CO，，，

由菱形ABCD且∠BAD＝120，所以AO＝OC＝1，

故，，

則，，

所以，即OF⊥OE，

又OE∩BD＝O，所以OF⊥平面BDE，

又∵OF平面BDF，平面BDE⊥平面BDF.

（2）由菱形ABCD，所以BD⊥AC，以OA，OB所在的直線分別為x軸，y軸，

過O作垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則軸，軸，

則，所以A（1，0，0），，，，，

所以，，，

令平面DEF的一個法向量為，且，，

由，，所以，

由，，所以，即，

令平面BEF的一個法向量為：，且，，

由，，所以，

由，，所以，即，

所以，則，

即二面角D﹣EF﹣B的大小為.